[…] Also nicht Null, also nicht konvergent, somit ist keine Aussage :möglich.
Doch: keine Nullfolge => divergent.
Stimmt meine Annahme? Leider habe ich dazu keine offizielle Lösung.
die Rechnung ist richtig.
Jemand anders hat behauptet man könnte das mit dem Wurzelkriterium :machen. Das glaube ich aber nicht.
Wieso? Einfach mal ausprobieren:
a_n = (-1)^n*\frac{2}{2n+1} \Rightarrow
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{n}{2n+1}} \leq \sqrt[n]{\frac{n}{2n}} = \sqrt[n]{\frac{n}{2n}} \to 1
also ist der limsup nicht
ad 1) eine Reihe kann nur 2 sich ausschließende Zustände annehmen (wenn man absolute Konvergenz mal aussen vor lässt), nämlich konvergent oder divergent. Wenn sie also nicht konvergent ist, ist sie divergent.
ad 2) siehe ad 1) aber zur Sicherheit hab ich noch mal in meinen Unterlagen nachgesehen. Da steht sogar explizit drin: Wenn \sqrt[n]{|a_k|}\geq 1 für unendlich viele k gilt, ist die Reihe divergent. Hier gilt das sogar für alle k.
Ergänzung
ausserdem kann man noch \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{2}{2n+1}} \geq \sqrt[n]{\frac{2}{2n+2}} \to 1 abschätzen, dann muss \sqrt[n]{|a_n|} \to 1 gelten
ad 1) eine Reihe kann nur 2 sich ausschließende Zustände
annehmen (wenn man absolute Konvergenz mal aussen vor lässt),
nämlich konvergent oder divergent.
soweit bin ich einverstanden.
Wenn sie also nicht konvergent ist
Aber das Leibniz-Kriterium ist doch (wie viele andere Konvergenzkriterien) nur eine hinreichende Bedingung für Konvergenz, oder? Also lässt es keine Schlüsse darüber zu, ob die Reihe divergiert: Wenn das Leibniz-Kriterium nicht zutrifft, kann die Reihe trotzdem konvergieren.