Hallo,
Da ich mich, bedingt durch meine Facharbeit, etwas mit
komplexen Zahlen auskenne, dachte ich an die komplexe
Zeigeraddition, hat aber nur bei der Addition der Elongationen
funktioniert, nicht bei den Amplituden.
OK, dann sieht Dein Zeigerbild ungefähr so aus:
B--------------------------------S
/ +++++ /
/ +++++ /
/ +++++ /
/ +++++ /
/ +++++ /
/ +++++ /
/phi +++ /
O--------------------------------A
OA ist der eine Zeiger, und OB der andere (jeweils Pfeilspitze in A und B hinzudenken). Sie sind a bzw. b lang und schließen den Winkel φ miteinander ein. Der Summenzeiger ist durch „+++“ angedeutet. Gesucht ist dessen Länge s, also die Entfernung O–S.
Da die beiden Dreiecke, in die das Parallelogramm OASB durch den Summenzeiger geteilt wird, nicht rechtwinklig sind, ist der Satz des Pythagoras leider verboten. Du kannst aber etwas anderes tun, und zwar dem Parallelogramm noch ein weiteres „cleveres“ Dreieck dranbasteln:
B--------------------------------S
/ +++++ /|
/ +++++ / |
/ +++++ / |
/ +++++ / | h
/ +++++ / |
/ +++++ / |
/phi +++ /phi (.|
O--------------------------------A-------X
u
Dadurch hast Du sogar zwei rechtwinklige Dreiecke bekommen, nämlich OXS und AXS. Durch Betrachten von AXS kannst Du jetzt schon mal die Höhe h des Parallelogramms sowie seinen „Überstand“ u angeben:
h = b sinφ
u = b cosφ
Und damit ist auch die gesuchte Entfernung O–S in Sichtweite. Du musst nur noch den Pythagoras auf OXS anwenden:
s2 = h2 + (a + u)2 = … = a2 + b2 + 2 a b cosφ
Entsprechend kannst Du auch die zweite Parallelogramm-Diagonale A–B ausrechnen. Ihr Längenquadrat ist a2 + b2 – 2 a b cosφ. Das ist der sogenannte Kosinussatz. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf nicht-rechtwinklige Dreiecke.
Die Formeln gelten natürlich für alle Parallelogramme. Ob es Kräfteparallelogramme sind, oder welche, die von Komplexe-Amplitude-Zeigern gebildet werden, interessiert die keine Bohne.
Das wars. Über den Winkel des Summenzeigers kannst Du Dir selbst Gedanken machen. Sollte kein Prob sein.
Gruß
Martin
