Hallo Martin,
ich hab wieder eine Frage zu einer aufgabe wo wieder einmal
schwerpunkte gesucht sind. diesmal aber von mengen.
Naja, das war vorher eigentlich genau das gleiche…
Du mußt Dir einfach nur überlegen, wie man diese Koordinatenbereiche abdecken kann (das ist die Denkarbeit) und dann kannst Du die Integrale lösen (das ist die Knochenarbeit).
Ich versuche Dir erst einmal einen Tip zum ersten Teil zu geben – wie man das dann aus-x-t (und -y-t 
), erkennst Du dann vielleicht schon selber bzw. wir können das später sehen.
R = {(x, y) 2 R2 | -2 \iint_R … ;dx;dy = \int_{x=-2}^{x=0} \left{\int_{y=0}^{y=4} … ;dy \right}dx
Ich finde, Integrale sollte man sich besser als Operatoren vorstellen; vielleicht hast Du schon einmal gesehen, daß man das dx auch direkt ans Integral vorschreibt:
\int f(x);dx \rightarrow \int!!dx ; f(x).
Das ist so zu verstehen, daß der Operator „integriere nach x“ auf die Funktion f(x) wirken soll. (Um Dich so wenig wie möglich zu verwirren, markiere ich die andere Schreibweise mit einem \rightarrow.)
Und so meine ich auch das … oben:
\rightarrow \iint_R dA;… = \iint_R dx;dy;… = \int_{x=-2}^{x=0} dx \int_{y=0}^{y=4} dy ;…
Das heißt: „Wenn man ein Flächenintegral über R ausführen soll, kann man es durch ein einfaches Integral über y (von 0 bis 4), gefolgt von einem Integral über x (von -2 bis 0), lösen.“
In diesem (faktorisierten) Beispiel ist das ganz einfach, weil x und y eben unabhängig von einander sind. (Da könntest Du die Integrationsreihenfolge auch genausogut vertauschen.)
Im Allgemeinen ist es jedoch so, daß die Grenzen der einen Integration (z.B. nach y) von der anderen Variablen (also x) abhängen. [Das meinte ich oben damit, daß Du Dir eben überlegen mußt, wie Du die Punktmengen vollständig abdecken kannst. (Ich stelle mir dazu vor, welche y-Bereiche ich bei gegebenem x „abklappern“ muß; und x wird danach auch noch variiert.)]
Das zweite Integral (über x) wird damit ein bisschen komplizierter, weil zusätzliche Terme (in x) auftreten, die erst entstehen, wenn man die y-Grenzen in die y-Stammfunktion einsetzt.
Schauen wir uns einmal die nächsten Beispiele an:
K = {(x, y) 2 R2 | x2 + y2 6 16, x > 0, y > 0},
Ich nehme an, das das x^2 + y^2 heißen soll, was ja eine/n Kreis(scheibe) K beschreibt, bzw. mit den Zusatzbedingungen x>0, y>0 eine Viertelkreisscheibe.
Offenbar kann sich x zwischen 0 un 4 bewegen.
Bei gegebenen x muß y dann zwischen 0 und \sqrt{16-x^2} sein, damit die Bedinungen erfüllt sind. Also wissen wir, wie man Flächenintegrale über K lösen können:
\rightarrow \iint_K dA = \int_0^4 dx \int_0^{\sqrt{16-x^2}} dy
E = {(x, y) 2 R2 | (x/4)^2 + (y/2)^2 -2\sqrt{1-(x/4)^2} und 0 sein.
Alternativ hättest Du übrigens auch mit y als unabhängiger Variabler anfangen können: y muß zwischen -2 und 0 liegen, und für jedes solche y muß x zwischen -4\sqrt{1-(y/2)^2} und 0 sein.
Wir haben also:
\rightarrow \iint_E dA = \int_{-4}^0 dx \int_{-2\sqrt{1-(x/4)^2}}^0 dy = \int_{-2}^0 dy \int_{-4\sqrt{1-(y/2)^2}}^0 dx
D = {(x, y) 2 R2 | − 2 6 x 6 0,−x − 2 6 y 6 0}.
Hier rede ich mich für heute Abend damit hinaus, daß ich nicht wisse, wie die 6 hier zu lesen sei…
a) Berechnen Sie jeweils die Koordinaten der Schwerpunkte von
R,K,E,D.
Dazu muß man ja nur wie im ersten Post die entsprechenden Integrale über 1, x und y ausführen und miteinander verrechnen.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Menge M
= RuKuEuD.
Falls M die disjunkte Vereinigung von R, K, E und D ist (es also keine Schnittmengen gibt), gilt einfach
\rightarrow \iint_M dA = \iint_R dA + \iint_K dA + \iint_E dA + \iint_D dA.
Falls die Voraussetzung erfüllt ist (Schau Dir einmal genau an, in welchen Quadranten die Teilflächen liegen!), kannst Du die entsprechenden Integrale also ganz leicht mit den Zwischenergebnissen aus der vorherigen Aufgabe berechnen.
Irgendwie liegt mir Analysis echt nicht.
Kopf hoch! Wenn man sich besser vorstellen kann, was die Idee hinter den Formeln ist, ist das alles (zumindest die oben angesprochene Denkarbeit) ganz leicht nachvollziehbar (Knochenarbeit bleibt Knochenarbeit, aber kann/muß sich evtl. vom Computer helfen lassen).
Schöne Grüße und alles Gute,
Manfred