Analysis Gleichung/ Supremum

Wissenschaft Mathematik
#1

Habe große Probleme bei diesen Aufgaben und würde mich über Hilfe sehr freuen.

1.)Berechnen Sie in a) - c) jeweils Re z, Im z, IzI. Bestimmen Sie in d) alle z € C, die die Gleichung lösen.

a) z = (i-1)^3

b) z = (1-3i)/(1-i)

c) z = (12+5i)/(2+3i)

d) z²-2z+3 =0

2.) Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum haben, und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Werte.

a) {((-1)^n)- 1/n : n € N}

b) {y + 1/y :y€(0,5, 2]}
c) {(1/k+1) + (1+(-1)^k)/2k : k € N}
d){(IxI*x²)/1+x² :x € R}

#2

Sorry, ich bin momentan etwas im Stress und habe keine Zeit, mich in die Frage einzudenken.
Hoffe, Du findest andere Hilfen!

#3

Hallo larryhunter,

bei Aufgabe 1 geht es um das Rechnen mit komplexen Zahlen. Hier gibt es Regeln, die dem Rechnen mit reellen Zahlen sehr ähnlich sind, siehe wikipedia, Tafelwerk o.ä. Zu d: Man erhält ein oder zwei Lösungen, meistens sind es zwei.

Bei Aufgabe 2 ist es hilfreich, die gegebenen Mengen auf der reellen Achse zu skizzieren. Maximum und Minimum sollten dann schon klar sein. Wenn Du auch noch den Unterschied zu Infimum und Supremum verstanden hast, sollte die Aufgabe nicht mehr schwer sein.

HTH
Gruss
soja

#4

Hallo,

1.)Berechnen Sie in a) - c) jeweils Re z, Im z, IzI.

Hier muß man eigentlich nur die Rechenregeln für komplexe Zahlen anwenden.

a) z = (i-1)^3

Nach der binomischen Formel ist (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3, also hier (unter Berücksichtigung von i^2 = -1):
z = 1 - 3i + 3\cdot(-1) - (-i) = -2 -2i
\Rightarrow;; \Re{\rm e}(z) = -2,;; \Im{\rm m}(z) = -2,;; |z|=2\sqrt2

b) z = (1-3i)/(1-i)

Brüche mit komplexen Zahlen werden in Normalform gebracht, indem man mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitert, so dass dieser reell wird:
z = \frac{(1-3i)\cdot(1+i)}{(1-i)\cdot(1+i)} = \frac{1+i-3i-3\cdot(-1)}{1^2-i^2} = \frac{4-2i}{1+1}
\Rightarrow;; \Re{\rm e}(z) = 2,;; \Im{\rm m}(z) = -1,;; |z|=\sqrt5

c) z = (12+5i)/(2+3i)

dito:
z = \frac{(12+5i)\cdot(2-3i)}{(2+3i)\cdot(2-3i)} = \frac{24-36i+10i-15\cdot(-1)}{2^2-(3i)^2} = \frac{39-26i}{4+9}
\Rightarrow;; \Re{\rm e}(z) = 3,;; \Im{\rm m}(z) = -2,;; |z|=\sqrt{13}

Bestimmen Sie in d) alle z € C, die die Gleichung lösen.:
d) z²-2z+3 =0

Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist:
z_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{2^2-4\cdot3}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-8}}{2} = 1\pm\sqrt{2},i

2.) Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen ein Infimum,
Supremum, Minimum bzw. Maximum haben, und bestimmen Sie
gegebenenfalls deren Werte.

Ich müßte ehrlich gesagt erst wieder nachschlagen, wie diese Begriffe definiert sind. (Das eine waren doch die kleinsten Schranken, und die anderen sind solche, die tatsächlich auch in der Menge angenommen werden.)
Weil ich jetzt auch weg muß, würde ich diese Aufgaben gerne jemand anderem überlassen:

a) {((-1)^n)- 1/n : n € N}
b) {y + 1/y :y€(0,5, 2]}
c) {(1/k+1) + (1+(-1)^k)/2k : k € N}
d){(IxI*x²)/1+x² :x € R}

Trotzdem schöne Grüße,

Manfred

#5

Hallo,
bei der 2ten Aufgabe kann ich leider nicht weiterhelfen, aber dafür bei der 1ten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

Hier stehen die Grundrechenarten für die kpomplexen Zahlen. Für a)schreibt man statt Potenz die einzelnen Terme hintereinander und rechnet mit Multiplikation mit a=-1 und b=1. c und d sind gleich.
Bei b) ist a=1, b=-3, c=1 und d=-1
Bei c) ist a=15, b=5, c=2 und d=3
d) löst man mit der Mitternachtsformel. Als Diskriminante steht -8, also schreiben wir ein i^2 dazu um eine Lsg im komplexen zu erhalten.

Es ist eigentlich nicht schwer, man darf sich nur net durch das i verwirren lassen und muss strikt nach den Formel des Links arbeiten.

Lg

#6

2.) Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen ein Infimum,
Supremum, Minimum bzw. Maximum haben, und bestimmen Sie
gegebenenfalls deren Werte.

Ich habe mich jetzt vergewissert, daß das Supremum die kleinste obere Schranke ist, die – im Gegensatz zum Maximum – auch außerhalb der Menge liegen kann.

Damit würde ich sagen:

a) {((-1)^n)- 1/n : n € N}

hat ein Supremum (nämlich 1) und ein Minimum (nämlich -2, für n=1).

b) {y + 1/y :y€(0,5, 2]}

hat ein Minimum (2, für y=1) und ein Maximum (2.5, für y=2).

c) {(1/k+1) + (1+(-1)^k)/2k : k € N}

\left{ \tfrac{1}{k+1} + \tfrac{1+(-1)^k}{2k} ;\Big|; k \in \mathbb{N} \right} hat ein Maximum (5/6, für k=1) und ein Infimum (0).

d){(IxI*x²)/1+x² :x € R}

\left{ \tfrac{|x|\cdot x^2}{1+x^2} ;\Big|; x \in \mathbb{R} \right} hat ein Minimum (0, für x=0), ist aber nach oben unbeschränkt, d.h. hat kein Supremum.

Schöne Grüße,

Manfred

#7

Sorry, aber das sind absolute Basics.
Ihre Hausaufgaben machen Sie am besten selbst, damit Sie es lernen. Falls Sie damit wirklich nicht klarkommen, benötigen Sie einen Nachhilfelehrer, der Ihnen die Grundlagen nochmal zeigt.

#8

Hallo Larry,

Aufgabe 1
a) ganz ausführlich: (i-1)^3 = (i-1)*(i-1)*(i-1) = (i^2-2i+1)(i-1) = (-1-2i+1)(i-1) = -2i(i-1) = -2i^2+2i = -2*(-1)+2i = 2+2i
z = a+bi, Re(z)=a, Im(z)=b, |z|=sqrt(a^2+b^2)
Hier: z=2+2i, Re(z)=2, Im(z)=2, |z| = Sqrt(2^2+2^2)=Sqrt(4+4)=Sqrt(8)

b) Zum Teilen zweier komplexer Zahlen erweiterst Du den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Damit steht im Nenner eine reelle Zahl. Hier: (12+5i)/(1-i) = ((12+5i)(1+i))/((1-i)(1+i)) = (12+5i+12i+5i^2)/(1^2-i^2)

#9

Hallo,

ich kann verstehen, dass Du da gerne Hilfe haben würdest.

Ich kann Dir aber nur eine grobe Hilfe geben, da mir das sehr nach Übungsaufgaben für ein Studium aussieht und es wichtig ist, das selbst zu lösen. Außerdem sind die Aufgaben echt einfach. Wenn Du ein Fach studierst, wo das gefordert wird, ist es ein echter Fehler so etwas primitives nicht selbst zu lösen, da solche Aufgaben in der Praxis vorkommen.

Daher will Ich Dir aber Hinweise geben, wie Du ansetzen musst:

> 1.)Berechnen Sie in a) - c) jeweils Re z, Im z, IzI. Bestimmen Sie in
> d) alle z € C, die die Gleichung lösen.
>
> a) z = (i-1)^3
Da musst Du einfach die dritte Potenz einer komplexen Zahl ausrechen. Wenn Du nicht mehr weißt, wie mann im komplexen multipliziert: Im Bronstein steht alles.
>
> b) z = (1-3i)/(1-i)

Division zweier kompexer Zahlen. Das ist eine GRUNDRECHENART!! Steht auch im Bronstein.

>
> c) z = (12+5i)/(2+3i)
Wie b)
>
> d) z²-2z+3 =0
Hier musst du nur eine quadratische Gleichung lösen (9.Schuljahr) Dann erhältst Du zwei Gleichungen, deren beide Lösungen jeweils beide Deine Aufgabe lösen.

Ich schreibe noch einmal die Gundregeln für komplexe Zahlen auf:
Seinen jeweils z1=x1+i*y1; z2=x2+i*y2 (Das sind die Zahlen, die ich unten verwende)
Addition:
Z1+Z2=(x1+x2)+i*(y1+y2)

Subtraktion:
Z1-Z2=(x1-x2)+i*(y1-y2)

Multiplikation
Z1*Z2=(x1+i*y1)*(x2+i*y2)=(x1*x2-y1*y2)+i*(x1*y2+y1*x2)

Division
Z1/Z2=(x1+i*y1)/(x2+i*y2)=((x1+i*y1)*(x2-i*y2))/((x2+i*y2)*(x2-i*y2))=((x1*x2+y1*y2)+i*(x2*y1-x1*y2))/(x2*x2-y2*y2)

Die quadratische Gleichung aufzuschreiben spaare ich mir. Das findest Du in Deinen Schulbüchern.

Bei den Aufgaben der Grubbe B) musst Du bei a und c einen Trick anwenden und die Gleichung für gerade und ungerade n bzw. k getrennt berachten und ausrechnen. Es gibt dann nur noch zwei Fälle: n oder k ins unendlich oder 1. Wenn Du unendlich annehmen musst, um ein Supremum oder Infimum zu erhalten, gibt es kein Infinum oder Supremum, da die „Zahl“ unendlich ein tranzzendenter Begriff ist und nicht existiert.
Aufgabe b): die Werte aus der Menge einstzen und ausrechenen. Schau die die Ergebnisse an: was ist der kleinste und was ist der größte Wert?

Aufgabe d): Hier musst Du nur ableiten und die Nullstelle suchen. Dann bildest du die zweite Ableitung wenn die an der Nullstelle der ersten Ableitung negativ ist, dann ist es ein Maximum. Ist sie positiv, dann ist es ein Minimum.

Ich weiß, dass Du gerne die Lösung hättest. Das würde Dir aber nicht wirklich helfen. Beiß Dich durch. Denn das ist der eigentliche Sinn des Studiums: Sich durchbeißen lernen. Nur dumme Leute gehen den leichten Weg. Der ist dann irgendwann schnell zuende. Mach das nicht.

Bernd

#10

Hallo larryhunter,

zu Aufgabenteil 1:

Du solltest dir noch einmal die genaue Definition von komplexen Zahlen anschauen. Es ist ziemlich einfach, im Gegensatz zu reellen Zahlen haben die komplexen einen Realteil und einen Imaginär Teil. z.B. sei z eine komplexe Zahl z=a+b*i dann ist der Realteil Re(z)=a und der Imaginärteil Im(z)= b (also der teil der mit i multipliziert wird)
zum i musst du nur noch wissenm, das i= sqrt(-1) (Wurzel von -1)
Bei den Aufgaben in 1 musst du also wie gewohnt die binomische Formel anwenden, oder ausmultiplizieren und berücksichtigen das i^2=-1 (in folgedessen ist
i^3=(i^2)*i=-i )… Für die Aufgaben b und c musst du ausnutzen das (a+bi)*(a-bi)= a^2-(bi)^2=a^2+b^2 ist. Wenn du zähler und nenner mit derselben komplexen Zahl multiplizierst, ist es wie wenn du etwas mit 1 multiplizierst)
Bei Aufgabenteil d kannst du z du a+bi ersetzen und daraus alle Werte für a sowie für b finden die die gleichung lösen! (Damit eine komplexe Zahl z=0 ist muss Re(z)=0 und Im(z)=0 sein, damit erhälst du 2 Gleichungen aus denen du eine eindeutige Lösung ziehen kannst!)

Zu Aufgabenteil 2:

Was ist ein Infimum, Supremum, Minimum? Das Infimum ist die untere Schranke und das Supremum die obere Schranke, Maximum und Minimum bezeichnen das größte, kleinste element einer Menge.
Wenn du nun die Menge betrachtest musst du scheinbar nur angeben ob ein größter/kleinster wert angenommen wird, wenn es ein definiertes, also nicht unendliches maximum oder minimum gibt, exisitiert das supremum/infimum also auch.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen,

Viel Erfolg!