Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent dazu, dass die Folge a(n) gegen a konvergiert? (beweis/gegenbeispiel)
a) Zu jedem e > 0 gibt es ein n(o), so daß für alle n>= n(o) gilt
|a(n)-a|0 und für alle n>=n(0) gilt |a(n)-a|0 gibt es ein n(0), so dass für alle n > n(O) gilt |an-a| 0 gibt es ein k element N und ein n(0), so dass für alle n>=n(o)+k gilt |a(n)-a|
Hallo,
a) Zu jedem e > 0 gibt es ein n(o), so daß für alle n>=n(o)
gilt |a(n)-a| 0 und betrachtet e/2(0 und für alle
n>=n(0) gilt |a(n)-a|0 gibt es ein n(0), so dass für alle n >
n(O) gilt |an-a| 0 gibt es ein k element N und ein n(0), so
dass für alle n>=n(o)+k gilt |a(n)-a|
Korrektur
Hallo,
Aufgabe 2 ist kompletter Murks. Ich schreibe dazu nachher noch was.
Gruss
Enno
zu 2
Hallo,
- Von der Folge a(n) sei bekannt, dass die Teilfolgen a(2n),
a(2n+1) und a(3n) konvergieren. Konve3rgiert dann auch die
Folge a(n) selbst?
Die Teilfolgen a(2n) und a(2n+1) enthalten keine gemeinen Folgeglieder von a(n) „partitionieren“ aber die Folge a(3n) (d.h. Glieder dieser Folge finden sich in a(2n) und a(2n+1) wieder). Das hat zur Folge, daß alle drei Teilfolgen gegen den selben Grenzwert konvergieren (evtl. genauer begründen - es reicht wenn zwei Teilfolgen einer Folge „unendlich“ viele Überschneidungen haben).
Für ein e>0 kann man nun n.A. ein n2n(0), n2n+1(0) und ein n3n(0) finden mit Eigenschaft, daß alle Folgeglieder einen Abstand kleiner Epsilon vom Grenzwert haben. Wählen wir
n(0)=max(n2n(0),n2n+1(0),n3n(0))
haben wir das n(0) für die Folge a(n) gefunden.
Gruss
Enno
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe konvergiert die Folge a(n) dann selber auch Weil es dafür dann ein n(0) gibt, ne? Muss ich mir jetzt noch ein n(0) ausdenken? ZUm Beispiel e:2 oder so das habe ich nämlich nicht so ganz verstanden wie das mit den n(0) funktioniert. Also Hätte ich dann |a(n)-a|
Hallo,
ja a(n) konvergiert. n(0) für a(n) ist doch gegeben durch die Maximumbildung.
Gruss
Enno
Danke noch mal dann habe ich das jetzt endlich verstanden