HalloHallo!
Ich schreibe gerade meine Dipl. Arbeit über ein ökologisches Modell und weiss mit folgendem nicht weiter: ein Kurvenverlauf soll an einen anderen angepasst werden. Die Funktion welche als „Vorlage“ dient verläuft bei x"setpoint" exponentiell. Für die „anzupassende“ Kurve ist die Gleichung des exponentiell verlaufenden Teils bekannt. Für den linearen Teil bei x
Huhu,
du hast also einen „setpoint“ = ein x-Wert, bei *bis* zu dem du einen Linearen Zusammenhang annimmst und *ab* dem du dann einen exponentiellen Zusammenhang annimmst, richtig?
Ich nenne diesen x-Wert dann mal x1. Du sagst, dass die exp. Funktion bekannt ist, also du kennst den y-Wert der exp. Funktion bei x = x1. Diesen Wert nenne ich nun y1. Die exp Funktion geht also durch den Punkt (x1|y1).
Nun suchst du eine Gerade, die auch durch diesen Punkt geht. Da gibt es leider unendlich viele Geraden, also brauchen wir noch eine Randbedingung, die festlegt, welche der unendlich vielen Geraden, die durch (x1|y1) gehen, die richtige ist. Dazu brauchen wir entweder noch einen Punkt, durch den die Gerade gehen soll, oder eine Steigung, die die Gerade haben muss. Beide Randbedingungen haben ihre Berechtigungen:
Nehmen wir an, die Gerade muss im Ursprung (0|0) beginnen - was manchmal ja auch Sinn macht - dann muss die Steigung gerade y1/x1 sein. In diesem Fall ist die Geradengleichung schlicht f(x) = x * (y1/x1).
Dabei kann es sein, dass der Übergang am setpoint in die exp. Kurve einen Knick aufweist. Wenn da - wieder aus möglicherweise nachvollziehbaren Gründen - kein Knick sein soll, dann müssen beide Funktionen in diesem Punkt die selbe Steigung haben. Nun kennst du die Steigung der exp. Funktion ja (kann man ausrechnen: Wert der ersten Ableitung bei x=x1). Nennen wir sie m. Die Steigung der Geraden ist überall gleich, und wenn sie bei x=x1 gerade m sein soll, dann hat die ganze Gerade die Steigung „m“. Was wir noch nicht direkt wissen, ist, welchen Achsenabschnitt („b“) diese Gerade hat (sie muss ja nun nicht durch den Ursprung gehen). Das läßt sich aber leicht ausrechnen, nämlich b = y1 - m*x1 (mal dir eine Skizze, dann siehst Du das gleich). Nun hast Du m und b und die Geradengleichung ist f(x) = m*x + b.
LG
Jochen