Hallo!
Ich habe da eine Frage zu Geo:
Bestimmen Sie die Lage des Punktes P bezüglich der Kugel K: x1²+x2²+x3²+4x1-5=0. Falls P außerhalb (innerhalb) der Kugel liegt, geben Sie die Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt P an, welche K von außen (von innen) berührt.
a) P (-3/-2/2) b) P (5/6/-6) c) P(0/2/1)
Für a) und b) habe ich schon einen Ansatz, ich weiß bloß nicht wie man r ausrechnet.
a) (x1+3)²+ (x2+1)²+(x3-2)²= r²
b) (x1-5)²+(x2-6)²+(x3+6)²=r²
Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Ich bräuchte dringend eine Hilfe! Dankeschön
Hallo,
gegebene Kugelgleichung K führt mit quadratischer Ergänzung zu:
x1^2 + 4x1 + x2^2 + x3^2 = 5 |+4
(x1+2)^2 + x2^2 + x3^2 = 3^2
==> Mittelpunkt von K = (-2|0|0)
a) P eingesetzt in K ergibt 1+4+4=9
==> 9=9 ==> P liegt auf Kugel K
b) P eingesetzt in K ergibt 9 +36+36 = 81
==> 81>9 ==> P außerhalb
==> Abstand von (-2|0|0) und (5|6|-6) ist 11
Radius von K abziehen ergibt 8
Kugelgleichung um P ist dann
(x1-5)^2+(x2-6)^2+(x3+6)^2 = 8^2
Hoffe, das stimmt. Ist schon ne Weile her.
Tschüss
was Du brauchst, ist der Radius der gegebenen Kugel. Wenn die Kugel in der Form
x1² + x2² + x3² + a x1 + b x2 + c x3 + d = 0
vorliegt, errechnet sich der Radius so:
r² = (a/2)² + (b/2)² + (c/2)² - d
Der Radius der gesuchten Kugel ist die Differenz zwischen dem Radius der gegebenen Kugel und dem Abstand des Punktes P zum Mittelpunkt der gegebenen Kugel, also |r - |MP||.
Dankeschön! Wie kommst du auf 11? Was machst du dann mit (-2/0/0) und (5/6/-6).
Für a) gilt P(-3/-1/2)…
Wäre das dann bei c x1²+ (x2-2)²+(x3-1)²= r²? und wenn man das in K einsetzt -->9?
Liebe Grüße
Also zu a), wenn ich jetzt in K nach der quadratischen Ergänzung die lautet: (x1+2)²+x2²+x3²=0 den Punkt einsetze, dann kommt ja 9 raus. Das wäre doch dann r², oder? Das heißt r=3. Und K(2/0/0) aus der quadratischen Ergänzung.
Zu b) Setzt man auch den Punkt P in K ein und dann kommt bei mir heraus r²=121. Dann wäre r=11. Wie kommt man dann auf 8 ?
Hallo,
zu a) P in K eingesetzt gibt 9. Dass hier 9 rauskommt, bedeutet einfach mal, dass P auf der Kugelfläche liegt.
Teilaufgabe erledigt.
zu b) P wieder in K eingesetzt gibt 121 (sorry, hab mich mit vorzeichen vertan). 121 > 9 bedeutet: P liegt außerhalb von Kugelfläche K.
Damit Kugel um P die Kugel K berührt, muss gelten: Abstand der Mittelpunkte der beiden Kugeln Minus Radius von K ist gleich Radius von Kugel um P. (Abstand bekommt man z.B. aus 2Punkte-Abstandsformel) Also 11-3=8.
c) müsste innerhalb der Kugel liegen. geht analog.
Tschüss