Ich hab kürzlich die Mathematik der Kreisberechnungen wiederholt und komm eigentlich mit so allem klar, nur nicht mit Aufgaben, in denen ein Kreis von einer Gerade berührt wird.
Beispiel:
Ein gesuchter Kreis geht durch den Punkt P(-1/3), berührt die Gerade g…3x-4y+15=0 und schneidet einen Kreis mit M(7/-5) und Radius 6 rechtwinkelig.
Ich find einfach keinen Ansatz, wie ich die Gerade in die Rechnung einbringen soll.
sorry, aber…
wo genau ist da die Frage?
Ein gesuchter Kreis geht durch den Punkt P(-1/3), berührt die
Gerade g…3x-4y+15=0 und schneidet einen Kreis mit M(7/-5)
und Radius 6 rechtwinkelig.
Ich find einfach keinen Ansatz, wie ich die Gerade in die
Rechnung einbringen soll.
Dein Beispiel ist völlig undurchsitig, wie die Kresie mit der Geraden zusammenhängen. Geht das vielleicht ein wenig präziser?
Tyll
Na gut, ein wenig präziser:
Gesucht ist ein Kreis, oder besser, seine Gleichung in der Form
(x-m)^2+(y-n)^2=r^2 wobei m und n die x- und y-Koordinaten seines Mittelpunkts und r sein Radius seien.
Dieser gesuchte Kreis berührt die Gerade g…3x-4y+15=0 (die Gerade g ist also eine Tangente an den gesuchten Kreis);
Außerdem schneidet der Kreis einen anderen Kreis mit dem Mittelpunkt M(7/-5)und dem Radius 6 rechtwinkelig;
Und zu guter Letzt weiß man noch, dass der gesuchte Kreis durch den Punkt P(-1/3) geht.
Ich kann nun mit der letzten Info folgende Gleichung aufstellen:
(-1-m)^2+(3-n)^2=r^2
Weil ich das mit dem zweiten Kreis weiß, und dass er den gesuchten rechtwinkelig schneidet, bildet die Verbindungslinie der 2 Mittelpunkte mit den 2 Linien die vom jeweiligen Mittelpunkt zum Schnittpunkt der Kreise gehen ein rechtwikeliges Dreieck (Voraussetzung!); also gilt der Satz des Pythagoras:
Linie[M1M2]^2 = r1^2 + r2^2 (r1 und r2 sind die Radien der 2 Kreise, wobei r1 bekannt ist: 6)
Damit bilde ich [M1M2]^2: (m+1)^2+(n-3)^2
und ich erhalte die zweite Gleichung:
(m+1)^2+(n-3)^2 = 6 + r2^2
Aber wie bekomme ich ein dritte Gleichung? Dazu muss ich ja wohl die Info über die Gerade nutzen, nur wie mach ich ein Gleichung daraus?
aha
Gut.
allgemeine Kreisgleichung:
(x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2
(x-m)^2 + (y-n)^2 - r^2 = 0
und die Geradengleichung:
3x - 4y + 15 = 0
kannst du nun gleichsetzen:
(x-m)^2 + (y-n)^2 - r^2 = 3x - 4y + 15 = 0
(x-m)^2 + (y-n)^2 - r^2 - 3x + 4y + 15 = 0
Gruß
Tyll