Hallo!
Problem:
Bestimme den Wert von a > 0 so, dass die Ebene
E: 4*x - 3*y = a die Kugel k: x-(2; -3; 5) = 25
beruehrt.
Meine Idee zur Vorgehensweise ist folgende
(leider hat diese nicht bis zum Schluss
durchgehalten, sodass ich hier einige
Zwischenschritte auffuehre, in der Hoffnung, dass
euch moegliche Fehler auffallen werden):
Ich habe mir ueberlegt, dass der Beruehrpunkt B
auf der Geraden h liegt, die (senkrecht zu E)
durch B und den Mittelpunkt M von k geht:
h: x = m + s*n (x,m,n seien Vektoren)
Den Normalenvektor kann ich ja einfach aus E
ablesen:
n = (4; -3; 0) (n sei Vektor)
Diesen und M in h eingesetzt, ergibt bei
mir folgendes:
x = (4*s + 2; -3*s - 3; 5) (x sei Vektor)
x (Vektor) wird sodann in E eingesetzt:
E: 4*(4*s + 2) -3*(-3*s - 3) = a
vereinfacht erhalte ich:
25*s + 17 = a ,d.h. s = (a - 17)/25
Das erhaltene s wird nun in die Geradengleichung
von h eingesetzt:
h: x = (2; -3; 5) + [(a-17)/25] * (4; -3; 0) (x sei Vektor)
Fuer die einzelnen Koordinaten erhalte ich:
x = ( 4*a - 18)/25
y = (-3*a -24 )/25
z = 5
Da der Abstand vom Mittelpunkt M zu dem
Beruehrpunkt B gleich dem Kugelradius r sein muss
(Bedingung fuer Tangentialebene), folgt:
b^2 = r^2 ,d.h. x^2 = r^2: (b,x seien Vekoren)
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
[( 4*a - 18)/25]^2 + [(-3*a -24 )/25]^2 + 5^2 = 25
Die Binome aufgeloest und auf einen Bruch
geschrieben:
16*a^2 - 144*a + 324 + 9*a^2 +144a + 576/625 = 0
Wenn der Zaehler gleich 0, dann auch die rechte Seite
gleich 0, d.h.:
25*a^2 + 900 = 0
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Und jetzt natuerlich das grosse Problem,
a^2 = -36 aufzuloesen.
Eigentlich bedeutet dies ja, dass die E nie
Tangentialebene an k sein kann, unabhaengig von
dem Wert von a. Aber das ist doch unmoeglich, oder?
Was habe ich also falsch gemacht?
Ich danke schon jetzt allen recht herzlich, die
mich auf meine(n) (Schussel-)Fehler aufmerksam machen!
Viele Gruesse
Timo