Hallo!
ich bin gerade im Internet auf
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kegelschn…
gestoßen.
Dort verstehe ich den analytischen Beweis unter 5.1 nicht. Kann jemand mir den vielleicht erklären?
Dass folgendes gilt hab ich verstandenen: PF²= (e-x)²+y²
aber warum gilt jetzt das?: (e-x)²+y²=(e-x)²+ (b²/a²)*(a²-x²).
wieso kann man y² durch (b²/a²)*(a²-x²) ersetzen?
Vielen Dank schon einmal!
Liebe Grüße
Bioloser
Hallo Bioloser!
wieso kann man y² durch (b²/a²)*(a²-x²) ersetzen?
Nimm an, dass es stimmt. Dann steht da
(1) y^2 = b^2 / a^2 * (a^2 - x^2)
Jetzt dividierst Du die Gleichung durch b^2 und multiplizierst sie rechte Seite aus. Dann bekommst Du
(2) y^2 / b^2 = 1 - ( x^2 / a^2 )
oder nach Umstellen
(3) (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
Das ist aber gerade die Ellipsengleichung. Jetzt ist noch zu Pruefen, ob alle unsere Rechenschritte Aequivalenzumformungen waren, also wir niergends mit Null multipliziert oder gar durch Null geteilt haben.
Das gilt offenbar, wenn b ungleich Null ist, was ganz vernuenftig klingt, weil b ja eine Halbachse der Ellipse sein soll. b=0 bedeutet, dass die Ellipse entartet ist, und waere gesondert zu untersuchen. Fuer b 0 ist Gl. (1) offenbar aequivalent der Ellipsengleichung (3) und damit wahr.
Gruss,
klaus