Es gibt im Grunde beliebig viele imaginäre Einheiten.
Man definiert i als die quadriert -1 ergibt, obwohl man nicht die geringste Ahnung hat, wie das funktionieren soll.
Wieso sollte es also nicht auch ein j geben, ebenfalls mit j*j = -1
Auf dem Koordinatensystem:
\mathbb{R} - Zahlengerade
\mathbb{C} - Koordinatenkreuz (= \mathbb{R}^2)
Dann gibt es noch die bereits erwähnten Quaternionen, die haben drei imaginäre Einheiten: i, j und k.
(Menge \mathbb{H})
Dann die achtdimensionalen (sieben imaginäre Einheiten) Oktonionen (Menge \mathbb{O})
Und schließlich die Sedenionen (Menge \mathbb{S})
Zu allen gibt es Wkipedia-Artikel. Zu den Sedenionen habe ich einmal aus Spaß zwei davon miteinander multipliziert (über ca. 60 Zeilen…)
Wenn du die Rechnung sehen willst, kann ich sie dir zeigen, bei Wikipedia habe ich sie aber nicht reingestellt, das würde zu viel Platz verbrauchen.
Aber du kannst dir natürlich selbst Mengen definieren, die beliebig viele imaginäre Einheiten haben, sicher auch eine mit unendlich vielen (also unendlich-dimensional).
Allerdings kann man irgendwann nicht mehr „Körper der x-dimensionalen hyperkomplexen Zahlen“ sagen wie bei „Körper der reellen Zahlen“, da die benötigten Eigenschaften verloren gehen.
Dafür gibt es irgendwann andere faszinierende Sachen. Beispielsweise gibt es die Möglichkeit, zwei Zahlen a,b \in \mathbb{S} zu finden, sodass a \cdot b = 0
mfg,
Ché Netzer
