Ich wäre froh wenn mir jemand auf folgende Frage Antworten könnte, bei Google, Wiki, … habe ich nichts gefunden.
Gibt es noch andere komplexe Einheiten, abgesehen von i ?
Was ich meine, gibt es noch weitere Erweiterungen der Zahlenmenge, um z.B. bestimmte Aufgaben zu lösen.
Ich habe zwar keine Ahnung, für was diese zusätzlichen Einheiten dann gut sein sollen, und da ich bis jetzt keine Informationen darüber gefunden habe, gehe ich mal davon aus, dass sie gar nicht existieren - ist dies richtig?
Was ich meine, gibt es noch weitere Erweiterungen der
Zahlenmenge, um z.B. bestimmte Aufgaben zu lösen.
da gibt es die Quaternionen, sozusagen die Erweiterung der komplexen Ebene in die dritte Dimension.
Erstaunlicherweise haben die die gleiche Mächzigkeit wie die komplexen Zahlen und auch die Reelen Zahlen (überabzählbar unendlich).
Ich habe zwar keine Ahnung, für was diese zusätzlichen
Einheiten dann gut sein sollen,
Es gibt im Grunde beliebig viele imaginäre Einheiten.
Man definiert i als die quadriert -1 ergibt, obwohl man nicht die geringste Ahnung hat, wie das funktionieren soll.
Wieso sollte es also nicht auch ein j geben, ebenfalls mit j*j = -1
Auf dem Koordinatensystem:
\mathbb{R} - Zahlengerade
\mathbb{C} - Koordinatenkreuz (= \mathbb{R}^2)
Dann gibt es noch die bereits erwähnten Quaternionen, die haben drei imaginäre Einheiten: i, j und k.
(Menge \mathbb{H})
Dann die achtdimensionalen (sieben imaginäre Einheiten) Oktonionen (Menge \mathbb{O})
Und schließlich die Sedenionen (Menge \mathbb{S})
Zu allen gibt es Wkipedia-Artikel. Zu den Sedenionen habe ich einmal aus Spaß zwei davon miteinander multipliziert (über ca. 60 Zeilen…)
Wenn du die Rechnung sehen willst, kann ich sie dir zeigen, bei Wikipedia habe ich sie aber nicht reingestellt, das würde zu viel Platz verbrauchen.
Aber du kannst dir natürlich selbst Mengen definieren, die beliebig viele imaginäre Einheiten haben, sicher auch eine mit unendlich vielen (also unendlich-dimensional).
Allerdings kann man irgendwann nicht mehr „Körper der x-dimensionalen hyperkomplexen Zahlen“ sagen wie bei „Körper der reellen Zahlen“, da die benötigten Eigenschaften verloren gehen.
Dafür gibt es irgendwann andere faszinierende Sachen. Beispielsweise gibt es die Möglichkeit, zwei Zahlen a,b \in \mathbb{S} zu finden, sodass a \cdot b = 0
die Quaternionen sind schon ein abgeschwächter "Schief"körper, die Multiplikation ist nicht mehr kommutativ, bei den Oktonionen kann man nichtmalmehr im eingeschränkten Sinne von „Körper“ reden, die Multiplikation ist nicht assoziativ.
Ansonsten führt das kompatible Hinzufügen von komplexen Einheiten zu den Clifford-Algebren, in denen dann, wie schon angesprochen, auch Nullteiler vorkommen können.