Aneinanderreihung von Chi-Quadrat-Verteilungen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

angenommen die Signaldurchlaufverzögerung bei einem elektronischen Baustein ist Chi-Quadrat verteilt. Wie läßt sich die Wahrschienlichkeit der Signaldurchlaufverzögerung angeben, wenn man zwei (oder mehrere) der elektronischen Bausteine anneinanderreiht ? Nennt man das Faltung ?

Die empirischen Daten für einen Baustein stimmen sehr gut mit der Chi-Quadrat Funktion überein (die Durchlaufverzögerung ist immer größer 0). Die empirischen Daten mehrerer aneinadergereihten Bausteine stimmen wiederum sehr gut mit der Normalverteilung überein. Schön wäre es, wenn ich sämtliche Daten mit wenigen Kennzahlen ausdrücken könnte, so z.B. einen Freiheitsgrad (bei X2) oder einem Mittelwert mit Varianz (bei N).

Verwende ich die Chi Quadrat Funktion, so habe ich Schwierigkeiten die Verteilungsfunktion für mehrere Bausteine zu berechnen. Benutze ich die Normalverteilung, dann passt der n-fache Mittelwert nicht (Invarianz der Faltung ???).

Vielen Dank für etwaige Antworten, Tobias

#2

Guten Tag,

ich verstehe nicht sehr viel von Technik, sondern (leider) nur von Mathematik. Deshalb gebe ich dir eine allgemeine Antwort:
Durch Faltung bekommt man die Dichte von der Summe von Zufallsvariablen. Ob sich das Elektrozeug wie eine Summe verhält, weiß ich nicht.
Die Normalverteilung hängt mit der Chi-Quadrat-Verteilung folgendermaßen ab:
Die Summe der Quadrate von Standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist Chi Quadrat verteilt, d.h. für X_1, …, X_n ~ N(0,1) gilt:
X_1^2+…+X_n^2 ~ Chi-Quadrat

Vielleicht hilft dir das ja…

#3

Hi,

angenommen die Signaldurchlaufverzögerung bei einem
elektronischen Baustein ist Chi-Quadrat verteilt. Wie läßt
sich die Wahrschienlichkeit der Signaldurchlaufverzögerung
angeben, wenn man zwei (oder mehrere) der elektronischen
Bausteine anneinanderreiht ? Nennt man das Faltung ?

Ja. Und die Summe von Chi²-Verteilungen ist wieder eine Chi²-Verteilung.

Die empirischen Daten für einen Baustein stimmen sehr gut mit
der Chi-Quadrat Funktion überein (die Durchlaufverzögerung ist
immer größer 0).

Das ist noch kein ausreichendes Indiz für eine Chi²-Verteilung. Geauso könntest du jede andere Verteilung mit nur pos. Def.-Bereich hernehmen (lognormal, gamma, …)

Die empirischen Daten mehrerer
aneinadergereihten Bausteine stimmen wiederum sehr gut mit der
Normalverteilung überein.

Das ist kein Wunder, denn auch funktioniert eine Approximation durch die Normalverteilung - wieviele Bausteine sind es denn?

Schön wäre es, wenn ich sämtliche
Daten mit wenigen Kennzahlen ausdrücken könnte, so z.B. einen
Freiheitsgrad (bei X2) oder einem Mittelwert mit Varianz (bei
N).

Du kannst im Grunde die Gesamtdaten nehmen und mit beliebigen Veteilung approximieren. Über die Residuenqudrate kannst du dann „die beste“ Verteilung ermitteln. Das ist zumindest sinnvoller, als die einzelnen Bausteine zu bestimmen und dann die Verteilung theoretisch herzuleiten.

Grüße,
JPL

#4

Hallo JPL,

vielen, vielen Dank für Deine Antwort.

Ich habe ein Diagram mal ins Netz gestellt.

http://www.edaptix.com/delayArray.bmp

Man sieht die farbigen Messergebnisse (rot für einen Baustein, grün für zwei, …) und den gleitenden Durchschnitt.

Man beachte den logarithmischen Masstab der y-Achse.

Ebenso ist die Normalverteilung angegeben, allerding in der Höhe angepasst.

Die Normalverteilungen sind jeweils das Vielfache eines konstanten Wertes (820ps) und passt auch noch bei 10-facher Anwendung überraschend gut.

Nun habe ich Probleme bei der Normalverteilung eines einzelnen Wertes, diese Normalverteilung hängt quasi in der Luft (siehe Bild). Eine Chi-Quadrat Verteilung passt super (siehe Bild bei den roten Messdaten). Was fehlt ist der Zusammenhang zwischen Freiheitsgrad der Chi-Quadrat und dem Mittelwert/varianz der Normalverteilung.

Ich hatte nichts über die Faltung der X2 gefunden, insbesondere nichts darüber wie sich die Kennzahl nach der Faltung ermittelt. Bei N klappt das extrem gut. N läßt sich extrem gut approximieren und ich wäre überrascht, wenn die Resiuenmethode ein anderes Ergebnis bringt. Nur bei der Darstellung des einzelnen Bausteins gibt es bei N Probleme, da die Werte ein Minimalwert nicht unterschreiten dürfen.

Hast Du Lust mir nochmals ein paar Hinweise zu geben ?

M.f.G. Tobias

#5

Hi,

Nun habe ich Probleme bei der Normalverteilung eines einzelnen
Wertes, diese Normalverteilung hängt quasi in der Luft (siehe
Bild). Eine Chi-Quadrat Verteilung passt super (siehe Bild bei
den roten Messdaten). Was fehlt ist der Zusammenhang zwischen
Freiheitsgrad der Chi-Quadrat und dem Mittelwert/varianz der
Normalverteilung.

Was willst du damit? Rechne doch einfch immer mit Chi² - auch für die blaue Kurve ist die anpassung mit der N nicht so toll.

Ich hatte nichts über die Faltung der X2 gefunden,
insbesondere nichts darüber wie sich die Kennzahl nach der
Faltung ermittelt.

siehe Wiki, abschnitt „Summe von chi²-Verteilungen“
von dort bekommst du dann auch Erwartungswert und Varianz.

Grüße,
JPL