Angewinkelte Federkraft

[Michael_eb48e2]

Hallo zusammen,

Ich hab ein kleines Problem in der technischen Mechanik. Und zwar ist folgende Aufgabe gegeben, bei der man unter anderem die Bewegungsgleichung aufstellen muss.
http://www.myrtharia.com/Diverse/feder.jpg
Soweit eigentlich kein Problem, jedoch komme ich nicht auf die richtigen Feder- und Dämpferkräfte.
(Der angegebene Winkel entspricht 60°)

Mit F_Feder = Weg * Federkonstante

müsste sich für die rechte Feder laut Lösung die Kraft

F_Feder = 4 * c * x * cos(60°)

ergeben.

Wenn ich den Weg betrachte, den die Feder zusammengedrückt wird, ergibt sich für diese aber doch

x / cos(60°),

da der Federweg die Hypothenuse des Dreiecks Masse m, Lagerung der Feder und der „x-Koordinate“ ist.
Wo liegt mein Denkfehler?

Analog dazu der Dämpfer. Hab ich erst die Federkraft (in Federrichtung), so ist der Rest kein Problem. F_Feder * cos60° ist dann die Kraftkomponente in x-Richtung (bzw. entgegen).

Liebe Grüße

Michael

[Manni_1248d3]

Hallo Michael,

bei der man unter anderem
die Bewegungsgleichung aufstellen muss.
http://www.myrtharia.com/Diverse/feder.jpg

Deine Skizze verstehe ich so:
Eine sinusförmig verlaufende Kraft und Weg X (erzeugt z.b. durch eine Kurbelschleife) wirkt auf die in der Skizze dargestellten Komponenten.
Diese Kraft wird „aufgebraucht“ durch eine:

Federkraft
Massenkraft
Dämpfungskraft
Federkraft

Die Dämpfung wird in der Schwingungstechnik im Allgemeinen als geschwindigkeitsabhängig betrachtet.
Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung gelten folgende Bedingungen:
x = Weg
XPunkt = Geschwindigkeit
XZweipunkt = Beschleunigung
Ich werde Dir mal einen handschriftlichen Vorschlag zur Lösung in’s Netz stellen - falls Du es wünscht -, da die Formelzeichen hier zu umständlich sind.
Gruß:
Manni

[Michael_eb48e2]

Hallo Manni,

Vielen Dank für die Antwort.
Mit der Berechnung von Federkräften, der Aufstellung von Bewegungsgleichungen usw. habe ich kein Problem. Mir geht es nur darum, warum die in der Feder wirkende Kraft eben diese angegebene ist.
Lässt man die „störende“, sinusförmige Kraft einmal außer Acht, dann ergibt sich die Federkraft doch aus Federkonstante und Weg, den sie zusammengedrückt wird. Der Weg ist aber doch x / cos(60°) (Ankathete / cos(Winkel) = Hypothenuse)

Laut Lösung ist der Weg jedoch x * cos(60°) und damit die Federkraft c * x * cos(60°) (in Federrichtung). Das passt mit meinem Verständnis nicht zusammen.

Liebe Grüße

Michael

[Uwi]

Grenzwertbetrachtung
Hallo,

Wenn ich den Weg betrachte, den die Feder zusammengedrückt
wird, ergibt sich für diese aber doch
x / cos(60°),

Klar ist doch, daß bei einem Winkel von genau 90° an der Feder
nix mehr passiert (kein Änderung des Federweges).
cos(90°) ist doch 0 (null), oder?
Demnach hättest du ein Problem mit obiger Formel,
weil x/0 gegen unendlich geht.

Umgekehrt ist es sicher einzusehen, daß für Winkel gegen Null
(x -> unendlich) der Federweg = x wird.
An deiner Formel x/cos(Winkel) kann also was ganz böse
nicht stimmen , oder
Gruß Uwi

[Michael_eb48e2]

Danke für diesen Blickwinkel.

So herum betrachtet macht es natürlich Sinn!
Und nachdem ich hier meinen ganzen Post schon geschrieben hatte, kam mir endlich auch die geometrische Bedeutung -.-

http://www.myrtharia.com/Diverse/Federkraft.jpg

Die Strecke x * cos(alpha) ist die Ankathete des Dreiecks, das entsteht, wenn man die Strecke x als Hypothenuse festlegt und darauf ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Mein Denkfehler mit 1 / cos(alpha) bestand darin, dass ich es auf die gesamte Federlänge bezogen hab. Die ist jedoch irrelevant, weil ja nur die Änderung der Federlänge interessiert.

Ich erklärs mir nun so, wenn ich mal wieder zweifle (was im Prinzip deiner Vorgehensweise entspricht):

Je kleiner der Winkel, desto größer ist der Faktor, um den die Feder bei einem Weg x zusammengestaucht wird, das lässt sich gut vorstellen.

Ich danke Euch (Manni und Dir) jedenfalls für die Hilfe! Nun bin ich um ein Problem leichter^^

Liebe Grüße

Michael

[Manni_1248d3]

Hallo, Michael,
Kleiner Hinweis:
Das von Dir skizzierte System ist ein Schwingungssystem und hat demnach eine bestimmte Eigenfrequenz und auch eine Resonanzfrequenz.
Deine Überlegungen zum Weg „X“ gelten nur, wenn das System mit ganz geringer Drehzahl (gaaanz langsam) betrieben wird.

Gruß:
Manni

[Michael_eb48e2]

Danke für den Hinweis, mir ging es nur um den Federweg, die Aufgabe sollte nur als anschauliches Beispiel dienen. Da es ein wegerregtes System ist, wäre die linke Federkraft demnach:

F_Feder1 = c * (x - u₀ * sin(Omega * t))

Bei der schrägen Feder braucht somit die Anregung nicht mehr berücksichtigt werden:

F_Feder2 = 4 * c * x * cos(60°) * cos(60°) = cx

Die Bewegungsgleichung ergibt sich dann zusätzlich mit dem Dämpfer und der Trägheit:

m * x^’’ + 1/4 * x^’ + 2c * x = c * u₀ * sin(Omega * t)

Der Rest ist pillepalle

Liebe Grüße

Michael

[Uwi]

Hallo,

So herum betrachtet macht es natürlich Sinn!

Schön, so hast du deinen Denkfehler gefunden und alles wird gut
In solchen Fällen ist Unterstützung bei Hausaufgaben und ähnlichem
auch eine gute Sache.

Ich erklärs mir nun so, wenn ich mal wieder zweifle (was im
Prinzip deiner Vorgehensweise entspricht):

Unklare Probleme mal auf die Grenzwertbetrachtung hin zu prüfen
bringt oft gewisse Klarheit oder offenbart eben auch oft
Fehler in der Logik.
Gruß Uwi

[Manni_1248d3]

Hallo Michael,

Bei der schrägen Feder braucht somit die Anregung nicht mehr
berücksichtigt werden:

Das solltest Du noch mal überlegen.

F_Feder2 = 4 * c * x * cos(60°) *
cos(60°) = cx

Die Bewegungsgleichung ergibt sich dann zusätzlich mit dem
Dämpfer und der Trägheit:

m * x^’’ + 1/4 *
x^’ + 2c * x = c *
u₀ * sin(Omega * t)

Frage:
Die Dämpfung wird in der Literatur oft mit dem Zeichen „rho“ benannt.
Was hast Du als Zeichen für die Dämpfung verwandt?

In der Bewegungsgleichung sehe ich nur 1/4 *x punkt. Keine Dämpfung.
Gruß:
Manni

[Michael_eb48e2]

Oh entschuldigung, da habe ich mich vertippt. Der Dämpungsteil soll lauten:

1/4 * x^’ * d

Mit d als Dämpungskonstante. Demnach ist die Dämpfung Rho 1/8 * d / m

Gruß Michael