Angw. Mathemathik: Kuchenblech in Quadraten

Wissenschaft Physik
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Hallo Mathefreaks,
ich würde gerne mal wissen, ob es eine Formel gibt, mit der man berechnen kann, wie viele unterschiedlich grosse Quadrate ich aus einem Kuchenblech bestimmter Grösse schneiden kann (ich meine aus dem darin gebackenen Teig).
Es geht mir darum: ich möchte Bisquitteig backen und eine Pyramide aus in Quadraten geschnittenem Teig zusammensetzen (übereinanderlegen; quasi Treppenpyramide). Wie gross müssen die Quadrate sein, damit ich wenig Verschnitt habe, und ich vielleicht 3-4 (oder 5?) Ebenen (also Quadrate) habe? Die Quadrate sollen übereinander gelegt werden, mit zunehmender Höhe etwas kleiner als das jeweils tiefere.

Ich hoffe, ich hab’s jedem Mathematiker exakt genug erklärt, was ich möchte. :wink:

Hat da jemand eine Idee?

Vielen Dank,
Kleiner_König *früher: Mathe 4 :wink: *

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Hi Freak,

die Formel fällt vom Himmel, sobald du sagst, wie groß deine Quadrate werden sollen. Aus Quadraten mit 1 cm Kantenlänge kannst du Pyramiden bauen, soviel du magst (beinahe jedenfalls). Wo ist das Problem?

Gruß Ralf

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Hallo Ralf,

Hi Freak,

?

die Formel fällt vom Himmel, sobald du sagst, wie groß deine
Quadrate werden sollen.

Angenommen, das Blech bzw. der verwertbare Teig) ist 40*40cm gross.

Aus Quadraten mit 1 cm Kantenlänge
kannst du Pyramiden bauen,

Wie das, wenn alle Quadrate eine Kantenlänge von 1cm haben, dann wird das doch beim Aufeinanderstapeln ein Turm und keine Pyramide. Oder meinst Du, wir haben von Etage zu Etage einen Kantenlängenrückgang um 1cm? Völlig egal. Ich will möglichst viele Quadrate, die unterschiedlich gross sind, aus dem Teig haben, so dass man sie dann z.B. mit Marmelade bestrichen übereinander zu einer (Stufen)Pyramide stapeln kann.

soviel du magst (beinahe
jedenfalls). Wo ist das Problem?

Ich weiss, für einen echten Mathematiker ist das kein Problem…
Ich sagte: Mathe 4 :wink:)

Gruss und Danke,
Kleiner_König (immernoch)

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Hi Kleiner_König (immernoch),

jetzt hab ich es geschnallt: Auf jeder Etage soll ein Quadrat liegen, nach oben werden die Quadrate immer kleiner.

Fragen über Fragen:

Wie groß soll / muss / darf das unterste / oberste Quadrat sein?
Gibst du einen Faktor vor, um den die Quadrate nach oben kleiner werden?
Welche Neigung haben die Außenseiten der Pyramide?

Antworten: Eher keine; ich fürchte, es gibt keine einfache Formel, wahrscheinlich auch keine komplizierte.

Idee: Dein Blechkuchen hat ein verfügbares Volumen, daraus sollten sich die Maße einer quadratischen Pyramide mit vorgegebener Steigung errechnen lassen. Diese Pyramide schneidest du in Scheiben, schnibbelst die Kanten senkrecht und versuchst die Reste unterzubringen (ich weiß, das ist nicht sehr mathematisch).

Gruß Ralf

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Hallo Ralf,

jetzt hab ich es geschnallt: Auf jeder Etage soll ein
Quadrat liegen, nach oben werden die Quadrate immer kleiner.

Richtig! (hatte ich das nicht im ursprungsposting geschrieben?)

Fragen über Fragen:

Wie groß soll / muss / darf das unterste / oberste Quadrat
sein?

Völlig egal, wie gesagt, die Pyramide sollte aus 3-4 (vielleicht 5) Quadraten=Lagen bestehen, die halt immer kleiner werden. Was das Blech halt hergibt.

Gibst du einen Faktor vor, um den die Quadrate nach oben
kleiner werden?

Nein.

Welche Neigung haben die Außenseiten der Pyramide?

Völlig Schnuppe, man soll sehen, dass es eine Pyramide ist und keine deformierte (= plattgehauene) eckige Torte.

Antworten: Eher keine; ich fürchte, es gibt keine einfache
Formel, wahrscheinlich auch keine komplizierte.

Ich dachte an sowas wie ein Tangram aus Quadraten, das sich aus einer Fläche von 40*40cm bilden lässt.

Idee: Dein Blechkuchen hat ein verfügbares Volumen,

Bei ca. 40*40cm *2-3cm Höhe = 3200 qcm bzw. 4800 qcm Volumen. Nu, was mache ich damit?

sollten sich die Maße einer quadratischen Pyramide mit
vorgegebener Steigung errechnen lassen.

Wie geht das, z.B. bei einer Steigung von 45°?

unterzubringen (ich weiß, das ist
nicht sehr mathematisch).

Ich glaube, in der Ziwschenzeit hätte ich mich schon mit Lineal, Papier und Bleistift dransetzen können und es ausklamüsern können :wink:

Da bin ich aber froh, dass es zu dieser geometrischen Frage noch keinen Pytagoras oder wen auch immer (drameldier?) gibt…Bei meinen mathem./geomertrischen Kenntnissen hätte es mich nicht gewundert…

Gruss,
K’K

Gruß Ralf

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Meiner Meinung nach ist die höhe der Pyramide egal. Nur der größenunterschied zwischen den einzelnen Schichten muss konstant sein.

Zb.: kleinste Schicht Größe x; nächste Schicht 2x; 3x usw.

Wenn du jetzt die Anzalh der Schichten vorgibst (zb. 4) kannst du dir das benötigte material berechnen. In diesem Fall

x + 2x + 3x +4x = 10x

Damit kannst du ausrechnen wie groß eine Schicht maximal sein kann.

Das Problem ist jetzt die Schichten so lange zu verkleinern bis man sie alle auf der gegebenen Fläche anordnen kann.
Außer probieren fällt mir dazu keine Lösung ein.

Du könntest auch die einzelnen Schichten aus Einzelstücken(so gut es geht mit großen stücken und dann den rest drankleben :smile: )zusammensetzten.
In diesem Fall setzt du 10x (bei 4 Schichten) gleich der Fläche die du zur verfügung hast

mfg Sirius

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Hallo Kleiner_König *früher: Mathe 4 :wink: *

Wie wäre es damit… in leichter Abwandlung Deiner Fragestellung, aber technisch gesehen eine Lösung Deines Problems:

Wenn Du n Stufen in Deiner Pyramide haben willst, Dann brauchst Du einen Kuchen mit einer Seitenlänge von 2n-1 mal n. Sagen wir also bei 10 Stufen muss der Kuchen 21 Einheiten lang und 10 Einheiten breit sein.

  1. Schnitt: Du teilst den Kuchen in zwei Hälften, die eine n x n, die andere n-1 x n.
  2. Schnitt von dem Stück n-1 x n schneidest Du den Rand ab, so dass es jetzt n-1 x n-1 gross ist.
  3. Das gerade abgeschnitte Randstück kannst Du aufessen, ist leider verloren.
  4. Jetzt schneidest Du aus jedem Stück innen ein um eine Einheit kleineres Teilstück heraus, so das jeweils ein „Rahmen“ mit der Breite „1“ übrigbleibt und ein neues Quadrat.
  5. Aus dem größeren Stück erhälst Du einen „Rahmen“ von n x n, darauf legst Du den Rahmen des zweiten Stücks, der ja n-1 x n-1 ist.
  6. Wenn Du immer aus dem verbleibenden Quadrat das nächst kleinere Quadrat herausschneidest und die „Rahmen“ wechselseitig aufeinander legst, bekommst Du eine 1a-Pyramide… allerdings ist die hohl von innen --> optimaler Materialeinsatz.

Ich weiss, das löst eventuell nicht Dein Problem, aber so bekommst Du bei gegebenen Materialeinsatz auf alle Fälle die voluminöseste Pyramide.

Gruß aus Hamburg
Moritz

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Hallo Moritz,
Deine Idee ist ja toll! Es ist zwar nicht das, was ich wollte, aber die idee hat mich überrascht!!
Die Formel war mir zwar schon zu hoch, aber ich weiss, was Du meinst.

Wenn man den rand der Rahmen breit genug macht (also die Einheit entsprechend wählt), dann kann man die Pyramide sicher auch „gerade“ übereinander setzen, also ohne das man immer einen neu aufgelegten Rahmen um 90° dreht (oder habe ich da was falsch verstanden?). Das ganze klappt ja auch nur, wenn man die Pyramide mit einer Creme füllt.

Naja, meine Lösung siehst Du im Extra-Posting, dann doch unmathematisch.

Gruss unmd vielen Dank,
Kleiner_König

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Hallo, schade, dass es da noch keine Formel gibt, wo es doch so viele „unpraktische“ Berechnungen gibt…

Ich hab emir einfach Papier, Bleistift, Lineal, Schere (und ein Geodreieck) genommen, geschätzt und mit einer Fläche von 17*17cm angefangen. Die Quadrate habe ich jeweils um 1cm Länge gekürzt, sodass ich dann zum Schluss 13 Ebenene hatte (die letzte war dann 5*5cm). Ich habe dann kleine Schachteln von 1,5cm Höhe(sollte die Teigdicke darstellen) genommen und die Pyramide provisorisch zusammengebaut. Dabei habe ich festgestellt, dass die Pyramide zu flach ist und die Stufen zu schmal sind. daraufhin habe ich ein weiteres Basisquadrat ausgeschnitten (19*19cm), und den Versatz zwischen den Stufen von 1 auf 2cm erhöht. Zum Schluss musste ich noch eine Stufe von 3*3 hinzufügen, sodass ich nun 9 Ebenen habe udn eine schön geformte Pyramide. Ich habe dann beim Anordnen der Quadrate festegestellt, dass ich auf jeden fall zwei Bleche mit Bisquitteig brauche, weil ich mit einem Blech (45*38cm o.ä.) nicht hinkomme.

Nun, ich bin gespannt, wie es wird, wenn ich sie tatsächlich backe.

Vielen Dank trotzdem,
Gruss,
K’K

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Mit Bleistift und Papier
Hi K’K,

Probieren hilft immer. Ein kurzer Abriss des Vorgehens zeigt dir die Mühen auf, Mathematik und praktische Fragestellungen zusammenzubringen (Formelsuche reicht nicht):

Aus dem Teig, der auf ein Blech mit 40 * 40 cm bei 2 cm Kuchendicke passt, könntest du eine Pyramide mit einer Dachschräge von 45° (Kantenlänge = 2* Höhe) backen. Die Höhe h errechnet sich aus dem verfügbaren Volumen von 3200 ccm: h = Kubikwurzel (3V/4), das sind 13,38 cm; mit ein wenig Großzügigkeit also 14 cm und damit 7 Schichten. Die einzelnen Lagen sind jetzt Pyramidenstümpfe, Begradigen der Kanten bringt uns auf Kantenlängen von 26, 22, 18, 14, 10, 6, 4 cm. Damit ist schon mal klar, dass es so nicht geht: Aus 40 cm kann ich keine Quadrate mit 26 und 22 cm schneiden.

Vermutung: Eine höhere Pyramide könnte besser passen. Also neuer Versuch mit Höhe = Kantenlänge und daraus h = Kubikwurzel (3V) = 20,9 cm. Wieder vereinfacht: 10 Schichten á 2 cm, Kanten begradigt, daraus Quadrate mit 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 cm. Das könnte aus dem Blech schon eher rausgehen.

So weit, so gut. Die Frage, ob und wie sich die Quadrate aus dem Blechkuchen schneiden lassen, kann für die 10 Quadrate noch durch Probieren herausgefunden werden. Bei größeren Problemen kommt dann ein Zweig der Mathematik zum Zuge, der „Lineare Optimierung“ (auf englisch „Linear Programming“, Untergebiet des Operations Research) heißt. Damit wird wie in unserem Beispiel der Verschnitt minimiert (oder zB ein Gewinn maximiert, deshalb auch der Name „Minimax-Aufgaben“), indem die Regeln und die Randbedingungen in ein Gleichungssystem mit n Unbekannten umgesetzt werden, das dann mit diversen Rechenverfahren aufgelöst werden kann. Das Umsetzen der Problemstellung in ein angemessenes Gleichungssystem ist hierbei der größte Aufwand.

Schwierig sind hierbei gerade die Randbedingungen: Um überhaupt anzufangen, muss irgend etwas festgelegt werden - „mir egal“ hilft leider nicht. Und mit der ersten Festlegung kann man sofort im Nirwana landen, siehe die erste Pyramide.

Gruß Ralf