Ansatz für Wahrscheinlichkeitsaufg./Kombinatorik

Wissenschaft Mathematik
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Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

In einer Stadt haben sich 3 Zahnärzte niedergelassen. Am gleichen Tag gehen 24 Einwohner zum Zahnarzt. Jeder wählt seinen Zahnarzt zufällig. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass 12 Einwohner zu Zahnarzt A, 8 Einwohner zu Zahnarzt B und 4 zu Zahnarzt C gehen?

Mein Ansatz ist nun, nach endlosem Kopfzerbrechen, der folgende:

Die ersten 12 Einwohner betrachtend, hat der erste, der zu A geht, 12 Möglichkeiten aus den 24 Einwohnern auszuwählen.
–> zuerst 24 Möglichkeiten, dann 23 usw.
–> 24! (n=24)
da aber nur 12 zu A gehen, muss die 24! „reduziert“ werden, da sie ja nur bis 13! läuft.
also:

24!/12! weil: n!/(n-k)!

da es nun ja egal ist in welcher Reihenfolge die 12 Personen aus den 24 ausgewählt werden, müssen die doppelten Ergebnisse ebensfalls herausgenommen werden.
z. B. 1,2,3,4,… = 2,1,3,4,… da Reihenfolge egal…

darum:

24!/(n-k)!*k!

kann mir jemand sagen, ob dieser Ansatz richtig ist? bin am verzweifeln… :frowning:(((
Sitze schon seit Montag an dieser Aufgabe… Vielen Dank für eure Hilfe, ich freue mich über jeden Rat/Kommentar! :smile:

Viele Grüße

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Hallo,

In einer Stadt haben sich 3 Zahnärzte niedergelassen. Am
gleichen Tag gehen 24 Einwohner zum Zahnarzt. Jeder wählt
seinen Zahnarzt zufällig. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
dass 12 Einwohner zu Zahnarzt A, 8 Einwohner zu Zahnarzt B und
4 zu Zahnarzt C gehen?

24!/(n-k)!*k!

kann mir jemand sagen, ob dieser Ansatz richtig ist?

oh ja :smile: Wenn es 2 Zahnärzte (Herr Bohr und Frau Zieh) gibt, die von n Patienten derart aufgesucht werden, dass zu Bohr k Patienten gehen und zu Zieh n – k Patienten, dann gibt es für dieses Szenario genau

\frac{n!}{k!:frowning:n - k)!}

Möglichkeiten. Diesen Ausdruck nennt man übrigens Binomialkoeffizient (merken!). In Deinem Fall ist n = 24.

Jetzt setze mal k = 4. Dann gehen also 4 Patienten zu Bohr und die übrigen 20 Patienten zu Zieh. Dafür gibt es dann

\frac{24!}{4!:20!}
\quad\quad\quad(a)

Möglichkeiten.

Nun hast Du nicht zwei Zahnärzte, sondern derer drei. Das ist aber überhaupt kein Problem: Die 20 Patienten gehen dann eben nicht alle zu Zieh, sondern teilen sich auf Zieh und den dritten Zahnarzt Herrn Füll auf. Und zwar gehen 12 zu Zieh und 8 zu Füll. Ja, und wieviele Möglichkeiten gibt es für diese Aufteilung? Das kannst Du sofort sagen, denn für dieses Unterproblem ist ja wiederrum der olle Binomialkoeffizient zuständig! Es gibt dafür

\frac{20!}{12!:8!}
\quad\quad\quad(b)

Möglichkeiten. Wenn Du jetzt noch (a) mit (b) multiplizierst („hoppla, kürzt sich da was weg?“), dann…?

83 Patienten gehen zu 5 Zahnärzten. Zum ersten gehen 33 Patienten, zum zweiten 29, zum dritten 16, zum vierten 4, zum fünften einer. Wieviele Möglichkeiten?

n Patienten gehen zu m Zahnärzten. Zum ersten gehen k1 Patienten, zum zweiten k2, zum dritten k3, …, zum m-ten gehen km Patienten. Logischerweise ist k1 + k2 + … + km = n. Wieviele Möglichkeiten?

Gruß und ein schönes WE
Martin

PS: Wenn n!/(k! (n – k)!) Bi nomialkoeffizient heißt (gültig für zwei Zahnärzte), welche Bezeichnung könnte dann das Gebilde haben, das die Anzahl der Möglichkeiten für beliebig viele Zahnärzte angibt?