Hi
Ich muss eine GFS (= Referat) über „Anwenden des Integrals bei Geschwindigkeit und Beschleunigung“ machen.
Nun gibt es bei uns im Mathebuch eine Einstiegsaufgabe zu dem Thema, wo man den Bremsweg mit Hilfe zweier Rechnungen (Reaktionsweg und Bremsweg) auf den Anhalteweg kommt.
Das eigentliche Problem ist eine weiterführende Aufgabe dazu, ich bin mir nicht sicher, ob die Aufgabe 1, die ich nun trotzdem mal schildere dazu notwendig ist.
Aufgabe 1:
Ein Autofahrer ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von v0 =108 km/h, also = 30 m/s unterwegs. 100m vor ihm läuft ein Reh auf die Straße, nun ist die Frage, ob er rechtzeitig zum Stehen kommt, wenn seine Bremsverzögerung bei einer Vollbremsung -7,5 m/s² beträgt?
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Reaktionsweg: Reaktionszeit ist ebenfalls mit 1 sek. (Schrecksekunde) gegeben. Man macht also das Integral von 30, als untere Grenze 0, als obere 1. Heraus kommt dann 30m.
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Bremsweg: Da wir eine konstante Bremsverzögerung von -7,5 annehmen, verringert sich die Geschwindigkeit linear von v 0 = v(0) = 30 vom Beginn des Bremsvorgangs t=0 auf v(tB)=0 zum Ende des Bremsvorgangs t=tB. Die Funktion v lässt sich somit durch einen linearen Funktionsterm beschreiben: v(t) = v0+a*t = 30+(-7,5)*t
Die Abbremszeit ist die Nullstelle von v:
v(tB)=0, also 0 = 30-7,5*tB und damit gilt tB=4.
Dann integriert man das ganze mit der nun gegebenen Zeit und man kommt am Ende auf 60m. Das addiert mit den 30m von zuvor ergibt 90m, somit kommt er vor dem Reh zum stehen.
Nun aber zum eigentlichen Problem:
„Weiterführende Aufgaben“:
- Bestimmung der Geschwindigkeit mithilfe des Integrals
Im zweiten Teil der Aufgabe 1 wurde für die Funktion v ein linearer Funktionsterm v(t) = v0 + a*t gefunden. Zeigen sie, dass man v(t) auch mit dem Integral v= „Integralzeichen“ a(z) dz berechnen kann.
untere Grenze = 0; obere Grenze = 1
Mit a ist die Beschleunigung gemeint, davon geh ich mal aus. Die war ja in Aufgabe 1: -7,5 m/s²
Bleibt trotzdem noch das z - was ist damit gemeint?
Und weiterhin noch die 2 darauffolgenden Aufgaben:
Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen Startzeit:
Zeigen Sie: Für die Länge s des im Zeitintervall [t0; tA] zurückgelegten Weges s gilt:
s = „Integralzeichen“ v(z) dz
untere Grenze = t0 ; obere Grenze = tA
Erläutern Sie folgende Begründung hierfür: Die Weg-Zeit-Funktion s ist eine Stammfunktion der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v mit v(t). Es gilt also:
s(t) = „Integralzeichen“ v(z) dz + s0
untere Grenze = t0; obere Grenze = t
Hierbei ist s0 der bis zum Zeitpunkt t0 zurückgelegte Weg s(t0). Der im Zeitintervall [t0; tA] zurückgelegte Weg hat die Länge:
„Integralzeichen“ v(z) dz
untere Grenze = t0; obere Grenze = tA
- Weg-Zeit-Funktion mit Anfangsgeschwindigkeit und bereits zurückgelegtem Weg
Wie lautet die Weg-Zeit-Funktion s mit s(t), wenn zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit v0 von 0 verschieden und schon die Weglänge s0 zurückgelegt ist.
Für die letzte Aufgabe hätte ich die Idee, dass ich dann wie bei der 1. Aufgabe eine Integralrechnung aufstelle und dann s0 abziehe. Bin mir da aber ebenfalls unsicher…
Mit diesen 3 Aufgaben habe ich ein Problem, denn ich weiß nun einfach nicht weiter. Überall weiß ich nichts mit dem z anzufangen… Ich wäre Euch sehr verbunden, wenn mir einer oder mehrere dabei helfen könnten, dabei voran zu kommen :o
bye
scounce