Anwendung der Ableitung - Was noch außer d/dt?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Wissende.

Ich führe meine Klasse grade in die Ableitung ein und in dem Zusammenhang wurde ich gefragt, ob es in der Anwendung noch andere Ableitungen als nach der Zeit gibt. Wie das eben so ist wenn man nicht an blaue Elefanten denken soll, dann fallen einem nur diese ein, also Änderung des Wegs NACH DER ZEIT, des Stroms NACH DER ZEIT, alle möglichen ZEITLICHEN Wachszumsvorgänge … Aber das kanns doch nicht sein!

Also: Wonach kann man noch sinnvoll ableiten außer nach t (Sagt jetzt nicht „x“).
Ich nehme auch irgendwelche Spezialfälle aus irgendwelchen Fachgebieten, würde mich dann aber über einen kleinen Wikipedialink freuen.

Danke
Andreas

#2

Tach,

Also: Wonach kann man noch sinnvoll ableiten außer nach t
(Sagt jetzt nicht „x“).

Doch doch, genau nach x.

Ich nehme auch irgendwelche Spezialfälle aus irgendwelchen
Fachgebieten, würde mich dann aber über einen kleinen
Wikipedialink freuen.

Nun kann x ja alles Moegliche sein. Klassischerweise in den Anwendungen der Physik zum Bleistift, leitet man (unter anderem) nach dem Ort ab. Stell Dir einfach Mal vor, Du hast einen Raum mit einer Heizung und einem offenen Fenster, in der Naehe der Heizung ist es warm, in der Naehe des Fensters ist es kalt, die Temperatur im Raum ist dann ein Feld, und wenn man wissen will, wie sich die Temperatur abhaengig vom Ort aendert, braucht man die Ableitungen nach dem Ort. Mathematisch wird das beschrieben durch die Waermeleitungsgleichung (Stichwort fuer die Google-Suche), die sowohl Zeitableitungen wie auch Ortsableitungen beinhaltet. Stationaere Waermeleitung in einer Dimension waere hingegen ein Beispiel fuer Ableitungen nur nach Ort in eine Richtung.

Ansonsten kannst Du generell bei partiellen Differentialgleichungen schauen, die in vielen physikalischen Modellen vorkommen und Dir als Beispiele ein Paar rausgreifen.

Gruss
Paul

#3

Moin,

Ihr werdet ja dann auch bald Extremwertaufgaben rechnen, und da wird ja nach allem möglichen abgeleitet. Typische Fragestellungen da sind ja „Wie groß muss der Radius des Fasses sein, damit das Volumen maximal / der Materialverbrauch minimal wird“, jeweils unter einschränkenden Randbedingungen. Und dann wird eben beispielsweise nach dem Radius abgeleitet.

Gruß
Olaf

#4

Hai!

Also: Wonach kann man noch sinnvoll ableiten außer nach t
(Sagt jetzt nicht „x“).

http://www.cs.uni-paderborn.de/fileadmin/Informatik/…

Das ist im Zeitalter der Kinects und Gesichtserkennung ein aktuelles
Thema.

Der Plem

#5

Die zweite Ableitung zur Behandlung mit Kanten. Wird oft bei der Gesichtserkennung gemacht

#6

Ein paar Beispiele aus der Physik:

  1. In der Thermodynamik ist Arbeit

dW = -p dV

⇒ p = - dW/dV

(p: Druck, V: Volumen)

Anschaulich: Wie viel Arbeit ist nötig um ein Gas auf ein kleineres Volumen zusammen zu pressen?

  1. Spannung ist eigentlich

U = W/Q

also die Arbeit, die eine Ladung verrichten kann, wenn sie von einem Ort zu einem anderen fließt. Wenn sich die Spannung durch den Stromfluss selbst ändert (z. B. bei der Entladung eines Kondensators), dann muss man besser schreiben:

U = dW/dQ

  1. Wenn man angeben möchte, wie sehr sich der Druck der Atmosphäre mit der Höhe ändert, dann würde man das

dp/dh

nennen. (Da dieser Term natürlich von der Dichte der Luft und dadurch vom Druck selbst abhängt, kommt man auf eine komplizierte Differenzialgleichung, die das Niveau der Schüler bei Weitem übersteigt. Die Lösung schimpft sich dann „barometrische Höhenformel“)

  1. Die Oberflächenspannung beträgt

σ = dG/dA

Hierbei ist G die Gibbs-Energie und A die Oberfläche. (Warum da die Gibbs-Energie und nicht einfach die Energie steht, fragen Sie bitten den physikalischen Chemiker Ihres Vertrauens).

  1. Streng genommen ist die Wärmekapazität nicht

C = ΔQ/ΔT, sondern C = dQ/dT

(Die erste Formel gilt nur für C = const…)

  1. …

Ob das alles nun wirklich für Schüler anschaulich ist, … naja, ich weiß es nicht.

Michael

#7

Hallo,

du hast prinzipiell recht, aber momentan (am Anfang) hab ich noch nach Beispielen gesucht, bei denen die Änderungsrate selbst eine eigene und (möglichst) bekannte Größe ist, wie zum Beispiel die Geschwindigkeit als mittlere oder sogar lokale Änderunsrate der Strecke. Beschleunigung und Pflanzenwachstum pro Stunde waren andere Beispiele. Dass die Ableitung einer Funktion nachher bei allem möglichen, was sich als Funktion beschreiben lässt, interessant sein kann, dahin kommen wir erst noch.

Danke
Andreas

#8

Hallo und Danke,

das ist ein gutes Beispiel, insbesondere da bei uns in der Gegend ein großer Hersteller von Kunststoffprofilen u.a. für Fensterrahmen ist. Dort lässt sich die Temperaturabnahme pro Strecke gut festmachen. Dass das ganze natürlich noch beliebig komplizierter werden kann, kann man ja erstmal nur andeuten :wink:

Herzlichen Dank,
Andreas

#9

Wow und herzlichen Dank.

Ich weiß zwar noch nicht, wo ich das unterbringen kann (wohl eher nirgends) aber es ist auf jeden Fall interessant (mindestens für mich :wink:). Vielleicht lässt sich das ja noch irgendwie „didaktisch reduzieren“, so das auch die 11er was damit anfangen können.

Schönen Abend
Andreas

#10

Hallo,

Wenn das ungefähr so funktioniert wie im von Plemtau geposteten Link, dann ist das ja wirklich eine recht „breite“ Anwendung. Zumindest die Idee sollte sich ja irgendwie vermitteln lassen, wobei eine „zweite Ableitung“ noch in weiter Ferne steht (also ca. 3 Wochen).

Danke für den Tipp,
Andreas

#11

Danke,

Ich glaube auch, dass die meisten Beispiele für die Schüler etwas zu hoch sein werden, insbesondere da Energie, E-Lehre und Thermodynamik bei den meisten bisher nur recht quallitativ behandelt wurden (wehe man kommt da mit Formeln). Aber das Beispiel der Druckänderung mit der Höhe ist anschaulich genug, um es zu verstehen, auch wenn man nicht genau weiß wie „Druck“ definiert ist.
Auch wenn der Großteil der Liste vielleicht nicht für die Schüler geeignet ist, so möchte ich mich trotzdem für die umfangreiche Sammlung bedanken. Ich hab mich schon etwas gewundert, dass ich nicht in der Lage war andere Beispiele als Ableitungen nach der Zeit zu finden. Nun weiß ich wenigstens auch für mich, dass da noch wesentlich mehr weitere Beispiele sind.

Danke und Schönes Wochenende
Andreas

#12

Wow und herzlichen Dank.

Gerne.

Ich weiß zwar noch nicht, wo ich das unterbringen kann (wohl
eher nirgends)

Warum nicht, gerade Bildverarbeitung ist doch bei den jugendlichen
interessant. Es geht ja nicht nur darum den Mond schärfer zu machen,
sondern wie schafft mein Handy (oder Minicam) es Bilder schärfer
zu bekommen.

Zu guter letzt sicher auch, wie kann man ein Model schön rechnen.

aber es ist auf jeden Fall interessant (mindestens für mich :wink:).

Wenn du da selber ein wenig einsteigen möchtest solltest du eher
Veröffentlichungen anschauen die Bildbearbeitung erklären über
die Fourier Transformation, das ist, zumindest in meinen Augen,
besser zu verstehen.

Vielleicht lässt sich das ja noch
irgendwie „didaktisch reduzieren“, so das auch die 11er was
damit anfangen können.

Ich weiß leider nicht wie weit 11er sind (meine Große ist erst in der
Achten) aber eigentlich sollte das möglich sein. Ein Bild der ersten
Ableitung bekommt man immer mit einem Bildvrarbetungprogramm hin und
Differnz und/oder Summenbilder sind dann leicht gemacht um einen
ersten Eindruck zu geben was möglich ist.

Der Plem

#13

Servus,

wenn man in der Mikroökonomik und in der Marktlehre alles weglässt, was mit Ableitungen (nach Menge, nach Preis) gerechnet wird, bleibt fast nichts mehr von diesen Disziplinen übrig.

Das einfachste Modell in der Mikroökonomik, das ohne Ableiten nicht auskommt, ist das Ertrags"gesetz", auch „Gesetz“ vom abnehmenden Ertragszuwachs von J.H. von Thünen - parallel auch von Turgot entwickelt.

Mit Kreuzpreiselastizitäten täte ich die Leut in der elften Klassen nicht unbedingt quälen, aber der von Thünensche Kartoffelacker ist an und für sich ganz hübsch.

Schöne Grüße

Dä Blumepeder

#14

HAbe mir den Link mal angeschaut, der trifft es eigtenlich ganz gut. Für deine zwecke absolut ausreichend

#15

Hallo,

Es stimmt schon, der Kontext ist interessant, die Umsetzung wird aber im normalen Unterricht etwas schwierig. Ich sehe da folgende Probleme

  1. Für eine vertiefende Betrachtung wirds zweidimensional. Das muss aber vollkommen außen vor bleiben. Damit behandelt man das Thema letztendlich aber nur recht flach und ich weiß nicht, ob jeder versteht was die eindimensionale Betrachtung mit dem Handybild zu tun hat.

  2. (und in meinen Augen wichtiger) Wenn aus der Präsentation etwas für die Schüler geeignet ist, dann die Folie zum Ausfüllen, da dies auch das Niveau ist, auf dem die Schüler mühelos folgen können sollten. Die Frage ist nur, wo man dies unterbringt. Bringt man es bei den Änderungsraten, bei denen man noch mit diskreten Größen arbeitet, so besteht die Gefahr, dass die Schüler überfordert werden (Bestimmung der Änderungsrate der Änderungsrate ?!). Man könnte dies auch ausführlicher thematisieren, jedoch ist die Zeit eh schon knapp und man will eigentlich in eine andere Richtung. Bringt man das Thema bei der zweiten Ableitung unter, dann sind die diskreten Größen das Problem. Wenn man die Sache mit h->0 endlich geklärt hat wird eigentlich nurnoch mit Polynomfunktionen gearbeitet (was einigen schon schwer genug fällt). Ein Beispiel wie das gezeigte mit einer Polynomfunktion umzusetzen (die möglichst noch von Hand bearbeitet werden kann), kann ich mir jedoch noch nicht vorstellen (das heißt nicht, dass es nicht geht).
    Ich kann mir das Thema daher eher für die Informatik, die Mathe-AG (denen kann man auch CAS zutrauen) oder als Referat vorstellen, in den „normalen Unterricht“ des ziemlich eng durchgeplanten Lehrplans passt es aber nicht ohne weiteres hinein.

Irgendwo wird es also unterkommen, aber wohl nicht im normalen Unterricht, insbesondere da wir keinen Vorleistungskurs haben (damit gehts erst später los).

Bis dann,
Andreas