Anwendung von Quantilen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, wer kann mir bei folgender Aufgabe bitte helfen?

Berechnung mit Quantilen - Optimierung einer Widerstandsfertigung:

Es sollen Widerst?nde 20 kΩ±15% hergestellt werden. Bei Unterschreitung der unteren Toleranzgrenze ist der Widerstand abgleichbar, bei ?berschreitung der oberen Toleranzgrenze stellt er Ausschuss dar. Der Herstellungsbereich streut entsprechend einer
Normalverteilung. Als durchschnittliche Ausschussquote wurde a = 2 % und als durchschnittliche Nacharbeitsquote wurde r = 25 % festgestellt.

Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Streuung σ2 des Prozesses!

Ein Widerstand, der nachgearbeitet wird, kostet zusätzlich 0,10 Euro. Ein Widerstand, der Ausschuss ist, kostet 2,- Euro. Wie muss der Erwartungswert verändert werden (bei konstanter Streuung), damit die Gesamtkosten minimal werden?

Wer kann mir bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?
Vielen Dank im Voraus

#2

HI,

wie weit bist du denn gekommen?
entscheidend ist die Verwendung von „Es sollen Widerst?nde 20 kΩ±15% hergestellt werden“, was bedeutet, dass die gewünschte Verteilung N(20,3) ist.

Grüße,
JPL

#3

Hallo Armani2209
der Prozess hat einen Mittelwert und eine Standardabweichung. Du kennst die obere und die untere Grenze (OG=23 bzw. UG=17). Oberhalb OG hat es noch 2 % und unterhalb UG 25 % der Werte. Du kennst die entprechenden Werte der Standardnormalverteilung. Du stellst nun je eine Gleichung für OG und UG auf. Die Unbekannten darin sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Löse das Gleichungssystem. Denke daran, dass am Ende nicht die Standardabweichung sondern die Streuung gefragt ist.

Für den zweiten Teil der Aufgabe berechnest Du die Zusatzkosten als Summe aus Nachbessern und Ausschuss. Die Standardabweichung ist gegeben. Nun veränderst Du den Mittelwert. Das ergibt andere Prozente für Nachbessern bzw. Ausschuss und somit auch eine veränderte Summe der Zusatzkosten.

Ich hoffe, dass Du damit weiterkommst.

Grüsse
pepo2801

#4

Vielen Dank zunächst einmal. Das hilft mir sehr.
Mal schauen, ob ich nun zum Endergebnis gelange.
Besten Dank noch einmal.

Grüße
Armani2209

#5

Hallo pepo2801,

ich benötige wohl doch weitere Hinweise, bevor ich weiter rechne und eventuell in die falsche Richtung laufe.
Sind die Ansätze bzw. Gleichungen zum Weiterrechnen richtig?
Zunächst, folgende sichergehende Frage:

  • der Mittelwert ist gleich dem Erwartungswert, richtig?

Folgende Ansätze habe ich nun gedacht:
für obere grenze: a=p=0,02 (von a=2%)
für untere grenze: r=p=0,25 (von r=25%)

Gleichung untere Grenze:
0,25=(17-Erwartungswert mü)/(Standardabweichung sigma)

Gleichung obere Grenze:
0,02=1-((25-Erwartungswert mü)/(Standardabweichung sigma))

Diese beiden Gleichungen nun als Gleichungssystem lösen? oder steckt da schon der fehler drin?
Ich habe das Gefühl, da fehlt noch etwas. Muss ich diese Tabellen über „Quantile der Normalverteilung“ verwenden bzw. daraus spezielle Werte heraussuchen und mit in die beiden Gleichungen integrieren?

Ich wäre sehr dankbar, über sachdienliche Hiwneise!

vielen, vielen Dank.
Gruß Armani2209

#6

Hallo Armani2209
Ja, der Mittelwert der Vereilung entspricht dem Erwartungswert.
Die Gleichungen sind nicht ganz korrekt. Zuerst suchst Du den entsprechenden Wert in der Standardnormalverteilung (z.B. -0.674 für p=0.25). Für die obere Grenze nimmst Du die Entsprechung für p=0.98.
Die Gleichung für die untere Grenze lautet dann:
UG = 17 = mü -0.674 x s
OG = mü + u2 x s

Grüsse
pepo2801

#7

Du hast doch die meisten Daten schon.
Streuung erggibt sich recht schnel. Die Standard Abwesichung kannst Du über die Mittelung bekomenn, das ist das Sigma bezogen auf die Stichprobe. Wenn dem Sigma zum Quadrat die Wurzel genommen wird, ist es das s.
Die Werte geben die die XUG und XOG dann hast du das T, denn T= XOG-XUG/6xSigma, schon hast du das µ, soweit klar?

Grüße
Fred

#8

Hm, dem kann ich jetzt nicht so folgen. Das scheint ja ein ganz anderer Ansatz bzw. eine andere Herangehensweise als von pepo2801 zu sein, dessen Erklärung mir eher einleuchtet. Könntest Du bitte etwas ausführlicher dein Vorgehen beschreiben? Danke Dir dennoch für deinen Beitrag, auch wenn ich gleich wieder Aufwand für Dich entstehen lasse.
Gruß Armani2209

#9

Bitte beachte die Netiquette (Punkt 3.3). Wer-weiss-was ist keine Hausaufgabenhilfe.

#10

aus der Wahrscheinlichkeitstabelle „Quantile der Normalverteilung“ habe ich für p=0,98 (a=2%) und p=0,75 (r=25%) folgende Werte bzw. Gleichungen erhalten:

  1. Gleichung: mü-0,77337s=17
  2. Gleichung: mü+0,83646s=25
    Gleichungssystem aufgelöst ergibt:
    s=4,969, daraus die Wurzel, somit ist die Standardabweichung=2,229
    mü=20,843.

Sind das plausible bzw. richtige Werte zum Weiterechnen?
Gruß Armani2209

#11

Hallo Armani

die Quantile der Standardnormalverteilung sind nicht korrekt angegeben. Zuerst musst Du Dir eine Glockenkurve vorstellen. Die Wahrscheinlichkeit von 25 % für die untere Grenze entspricht der Fläche unter der Glockenkurve von -Unendlich bis UG, also links der unteren Grenze. Für die obere Grenze ist es analog von -Unendlich bis OG.
Ich weiss nicht wie Du die Quantile berechnet oder abgelesen hast. Eine Möglickeit bietet Excel mit der Funktion NORMINV(p;0;1). Konkret ist das Quantil für die untere Grenze = NORMINV(0.25;0;1) und jenes für die obere Grenze = NORMINV(0.98;0;1). Das ergibt als Resultat -0.6745 bzw. 2.0357. Die erste Gleichung lautet dadurch: mü-0.6745s=17
Die zweite Gleichung ist entsprechend. Nur ist die obere Grenze nicht 25 sondern 23 (20 + 15%). In diesen Gleichungen entspricht s der Standardabweichung. Die Streuung ist nicht die Wurzel aus s sondern s^2.
Gruss
pepo2801

#12

hallo armani2209
für die erste aufgabe musst du den mittelwert und die standardabweichung der normalverteilung aus den beiden verteilungsabschnitten 2% (für 23) und 25% (für 17) berechnen.
bei der zweiten aufgabe musst du die formel für die kosten nach dem mittelwert ableiten und diese ableitung = 0 setzen.
alles klar?
viele grüsse, rolf

#13

Hallo und sorry, aber dazu kann ich dir leider nicht helfen. Gruß Robert