Hallo,
ich habe ein Problem bei der Berechnung der Anzahl von k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.
Für ein bestimmtes k ergibt sich die Anzahl ja mit Hilfe des Binomialkoeffizienten (n über k).
Summiere ich dies für alle k im Interval 0…n auf, um die Anzahl aller möglichen Teilmengen zu erhalten, so läßt sich das mit Hilfe des Binomischen Satzes zu 2 hoch n vereinfachen.
Soweit, so gut.
Nun würde ich aber gern die Anzahl aller Teilmengen mit maximal 5 Elementen (oder einer andere bekannten Zahl) berechnen.
Wenn ich die Summe dann aufdrösel, komme ich sehr schnell zu ellenlangen Fakultätsformeln.
Ist das der einzige Weg? Oder gibt es auch für diese „Zwischenanzahlen“ eine vereinfachte Formel?
Habt tausend Dank
Konrad
hi,
Nun würde ich aber gern die Anzahl aller Teilmengen mit
maximal 5 Elementen (oder einer andere bekannten Zahl)
berechnen.
Wenn ich die Summe dann aufdrösel, komme ich sehr schnell zu
ellenlangen Fakultätsformeln.
naja: „ellenlang“? da kürzt sich ja viel.
(n über k) = n! / (k! (n-k)!) = n . (n-1) … . (n-k+1) / (n-k)!
also (12 über 5) = 12.11.10.9.8 / (5.4.3.2.1) =
= 11.9.8 = 11.72 = 792
du kannst dir aber auch ein für allemal ein binomisches dreieck machen (lassen), das für deine bedürfnisse groß genug ist und dann dort nachschauen. das geht auch gut mit einer tabellenkalkulation. du weißt: immer die summe aus den zwei zahlen „drüber“ gibt jene „drunter“. das sind auch die binomialfaktoren.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 210 495 792 924 792 495 210 66 12 1
usw.
in der 13. zeile (die mit 12 an der 2. stelle) findest du nacheinander (12 über 0), (12 über 1) usw. u.a. die 792 von oben.
wie gesagt: geht auch gut per kalkulationsblatt.
nicht vermeidbar ist, dass da große zahlen rauskommen. das ist so.
m.
ergänzung
und du kannst außerdem jeden besseren taschenrechner und jede tabellenkalkulation die (n über k) berechnen lassen. openoffice kennt die funktion FAKULTÄT für n! mein (am.) excel nennts FACT.
m.