Hallo, ich soll die Funktion f(x)= \sqrt{1+\sin(x)} approximieren an der Stelle x=0 druch ein Taylorpolynom der Ordnung n=2. Die Fehlerabschätzung soll ich mithilfe des Restglieds R_{2}(x) für |x| \leq \frac{\pi }{6}
Ich brauche unbedingt hilfe, ich verstehe echt nur Bahnhof von der Materie!
Ich danke schonmal im Vorraus!
lg
Hi,
Du musst erstmal die Ableitungen bis zur Ordnung 3 ausrechnen. Die ersten zwei werden dann im Nullpunkt ausgewertet, die dritte auf dem gegebenen Intervall nach oben abgeschätzt. Dann in die Taylor-Formel einsetzen. Diese findest Du in Deinem Skript, der empfohlenen Literatur oder irgendwo im Web (um nicht Wikipedia zu sagen, aber es gibt auch genug Online-Skripte).
Gruß Lutz
Hossa 
Die Taylorformel dient dazu, eine Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle x0 anzunähern. Die einfachste Form dieser Näherung ist der Funktionswert f(x0) an der Stelle x0:
f(x)\approx f(x_0)\quad\mbox{nullte Ordnung}
Die nächstbessere Näherung ist die Tangente an die Kurve f(x) im Punkte x0:
f(x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)\quad\mbox{erste Ordnung}
Ausgehend vom Punkt x0 entfernst du dich auf der x-Achse um das Stück (x-x0). Die Steigung im Punkt x0 ist jedoch gerade gleich der ersten Ableitung f’(x0). Im Steigungsdreieck ergibt dann f’(x0)(x-x0) gerade die Änderung des Funktionswertes. Dazu wird noch der Funktionswert f(x0) addiert und fertig ist die Tangente.
In der nächsthöheren Ordnung wird die Kurve f(x) an der Stelle x0 durch eine Parabel angenähert:
f(x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2},f^{\prime\prime}(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)^2\quad\mbox{zweite Ordnung}
Allgemein gilt für die Taylor-Reihe:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(x-x_0\right)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)
Hallo, ich soll die Funktion f(x)=
\sqrt{1+\sin(x)} approximieren an der Stelle x=0 druch
ein Taylorpolynom der Ordnung n=2.
In deinem Fall wird also eine Parabel gesucht mit x0=0:
f(x)\approx f(0)+f^\prime(0)\cdot x+\frac{1}{2},f^{\prime\prime}(0)\cdot x^2
Die Fehlerabschätzung soll ich mithilfe des Restglieds R_{2}(x) für |x|\leq \frac{\pi }{6}
Wird die Taylorreihe bei der Ordnung n abgebrochen, so ist das Restglied einfach der nächstfolgende Summand in der Taylorreihe, also derjenige, der zu n+1 gehören würde:
R_n(x)=\frac{\left(x-x_0\right)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)
Die große Unbekannte darin ist Xi. Es liegt irgendwo innerhalb des Intervalls, für das die Näherung gelten soll. In diesem Intervall musst du das Restglied maximieren, um eine Fehlerabschätzung zu erhalten.
In deinem Fall gilt für das Restglied n=2, x0=0 und |x|R_2(x)=\frac{x^3}{6}f^{\prime\prime\prime}(\xi)\quad\mbox{mit}\quad\xi\in\left]-\frac{\pi}{6},;,\frac{\pi}{6}\right[
Ich brauche unbedingt hilfe, ich verstehe echt nur Bahnhof von
der Materie!
Die Ableitungen sind noch ein wenig fummelig. Aber das Prinzip sollte nun klar sein…
Viele Grüße
Hasenfuß
Die Aufgabe vereinfacht sich wesentlich, wenn man erstmal Additionstheoreme und andere Eigenschaften trigonometrischer Funktionen anwendet, der Einfachheit halber sei x=2u substituiert:
\begin{align}
1+\sin(2u)&=(\cos^2u+\sin^2u)+2,\cos u,\sin u\
&=(\cos(u)+\sin(u))^2\[1em]\text{oder }
1+\sin(2u)&=1+\cos(2u-\pi/2)\
&=2,\cos^2(u-\pi/4)
\end{align}
Danach kann man die Wurzel ziehen und die Ableitungen berechnen sich wesentlich einfacher. Eine Vorzeichendiskussion ist beim Wurzelziehen erforderlich.
Gruß Lutz