Arbeit berechnen in nicht konservativen Kraftfeld

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

habe eine Frage, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe. Habe hier ein nicht konservatives Kraftfeld, dass durch

F=(x^2+y)e1+sin(y)e2

beschrieben ist, wobei e1 und e2 jeweils die Einhitsvektoren sind für die x/y Achse. Nun soll ich die Arbeit berechnen, die aufgewendet werden muss, wenn der Körper sich entland einer Geraden bewegt und einmal entlang einer Kurve für die gilt y=x12+0,5x

So, ich würde das ganze ja integrieren, das war mein Gedanke, doch leider scheitere ich hier schon dran. Muss ich nach x oder y oder nach beidem integrieren? Oder muss ich gar nicht integrieren und mein Ansatz ist vollkommen falsch?

Wäre dankbar, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnt

Besten Dank für die Antwort im Voraus

#2

Hallo!

Im Folgenden bedeutet Fettdruck jeweils Vektor

W = Fs

bzw. differenziell

dW = d( Fs )

Weil F hinreichend stetig und differenzierbar ist, kann man das auch so schreiben:

dW = F d s (1)

nun ist d s = (dx, dy).

Über die Ableitung dy/dx = y’(x) kannst Du nun z. B. dy ersetzen. In der Gleichung für F (x,y) kannst Du ebenfalls y durch x ausdrücken. Dann kannst Du das Skalarprodukt in Gleichung (1) durchführen und hast links vom Gleichheitszeichen dW und rechts davon eine skalare Funktion, die nur von x abhängt und dx. Dann integrierst Du auf beiden Seiten, und zwar links von W1 bis W2 und rechts von x1 bis x2.

Michael


–––––––––––
MOD: Ein d hat gefehlt.

#3

Weil F hinreichend stetig und differenzierbar ist, kann man
das auch so schreiben:

dW = F d s (1)

nun ist s = (dx, dy).

Ab diesem Punkt versteh ich deine Antwort leider nicht mehr. Welchen Nutzen habe ich aus F ds (1) und mit s=(dx,dy) komm ich auch nicht in meiner Gleichung weiter irgendwie.

War das so gemeint, dass den Vektor hab:

x^2+y
sin(y)

und dann dy/dx ableite und dann 2xdx=dy dastehen hab? Und dann? Ich ich hab ja noch die andere Variable, nach der könnt ich nun auch ableiten also dx/dy und erhalte 1/dx. Oder war das nicht so gemeint? Ich steh irgendwie aufm Schlauch.

Danke für deine Hilfe

#4

Hallo nochmal!

Leider konnte ich Dir das nicht genauer vorrechnen, weil Dir bei der Gleichung der Kurve vermutlich ein Fehler unterlaufen ist:

y=x12+0,5x

Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass das

y = x^2 + 0,5 x

heißen soll.

Dann lautet die Ableitung davon:

dy/dx = 2x + 0,5

Also ersetzt Du dy durch (2x + 0,5)dx.

d s = (dx, (2x +0,5)dx) (2)

Nun hast Du außerdem

F = ((x^2+y), sin(y))

Auch hier ersetzen wir y durch x^2 + 0,5 x

F = ((2x^2+0,5x), sin(x^2+0,5x)) (3)

Jetzt kannst Du doch das Skalarprodukt aus (2) und (3) bilden. Das gibt ein ziemlich hässliches verkettetes Integral aber die Aufgabe ist damit zumindestens gelöst.

Michael

1 Like
#5

Ok danke dir. Ich werd das mal probieren.

#6

Hossa :smile:

Dein Kraftfeld hat die Form:

\vec F=\left(\begin{array}{c}x^2+y\ \sin y\end{array}\right)

und dein Weg hat die Form

y=x^2+\frac{1}{2}x

Leider hast du keinen Start- und keinen Endpunkt auf dem Weg angegeben. Ich schreibe daher einfach (xa,ya) für den Anfangspunkt und (xe,ye) für den Endpunkt.

Mit diesen Angaben kannst du die Arbeit wie folgt berechnen:

W=\int\limits_{C_a}^{C_e}\vec F,d\vec r=\int\limits_{x_a}^{x_e}F_x,dx+\int\limits_{y_a}^{y_e}F_y,dy

Dein Kraftfeld eingesetzt:

W=\int\limits_{x_a}^{x_e}\left(x^2+y(x)\right),dx+\int\limits_{y_a}^{y_e}\sin y,dy

Da du nur über eine Variable integrieren kannst, musst du im ersten Integral y als Funktion von x hinschreiben, daher das y(x). Da du auf einem bestimmten Weg gehst, weißt du, wie y und x zusammenhängen:

y=x^2+\frac{1}{2}x

Also kannst du das erste Integral in Abhängigkeit von x schreiben:

W=\int\limits_{x_a}^{x_e}\left(x^2+x^2+\frac{1}{2}x\right),dx+\int\limits_{y_a}^{y_e}\sin y,dy=\int\limits_{x_a}^{x_e}\left(2x^2+\frac{1}{2}x\right),dx+\int\limits_{y_a}^{y_e}\sin y,dy

Nun musst du nur noch integrieren und die Grenzen einsetzen…

Viele Grüße

Hasenfuß

#7

danke owt :smile:
c