Arbeiten im Ausland Krankenversicherung Unfall

Hallo,
meine Mutter arbeitet zur Zeit in Österreich und hat sich dort die Hand gebrochen, sprich dass Sie für längere Zeit nicht arbeiten kann. Kann Sie hier in Deutschland behandelt werden? Ihr Wohnsitz ist in D, aber sie wohnt schon seit einiger Zeit bei Ihrer Arbeitsstelle (Hotel in Österreich)

Wenn sie ordentlich angemeldet und versichert ist, d.h. bei der österreichischen Gebietskrankenkasse als Grenzgängerin (da sie ja in Deutschland ihren Hauptwohnsitz hat), ist das alles kein Problem.

Wenn nicht, kann die ÖGKK Schwierigkeiten machen, da sie ja von Deutschland nichts weiß.

Wenn das Arbeitsverhältnis geendet hat und sie kommt nach Deutschland zurück, kann sie sich in Deutschland weiterversichern. Dann wird sie natürlich auch hier behandelt.

Oder ist sie weiter in Deutschland versichert und der Hotelier in Österreich wollte Sozialversicherung sparen ?