Arithmetik mit Standardfehlern

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,

Ich bin Biologin und versuche gerade fuer eine Berechnung herauszufinden wie ich mit Standardfehlern rechnen kann. Leider kann ich dazu nichts in den gaengingen Statistikbuechern finden. Meine Frage:
Ich habe zwei nebeneinanderliegende Gebiete, fuer die ich jeweils mit Hilfe eines Interpolationsverfahrens einen Dichtewert (in diesem Fall: Voegel) mit einem dazugehoerigen Standardfehler ermittelt habe. Jetzt moechte ich (1) den Dichtewert in eine Gesamtpopulation per Gebiet umrechnen,d.h. die Dichte mit der Gebietsgroesse multiplizieren; und(2) eine Gesamtpopulation fuer beide Gebiete gemeinsam errechnen, d.h. beide Population miteinander addieren. Was passiert mit dem Standardfehler? Ein Kollege hat mir erklaert ich muesste bei (1) den Standardfehler ebenfalls multiplizieren um den Fehler fuer die Population zu erhalten, und bei (2) beide Standardfehler ebenfalls zueinander addieren um den Fehler fuer die Population beider Gebiete gemeinsam zu erhalten. Ist das richtig? Gibt es irgendwo eine Quelle wo ich die Regeln zur Arithmetik mit Standardfehlern mal nachlesen kann?
Vielen Dank fuer die Hilfe!

Kerstin

#2

Hallo,

der erste Tipp Deines Kollegen ist auf jeden Fall richtig. Bei der zweiten Frage hängt es davon ab, ob die beiden Variablen im statistischen Sinne als unabhängig gelten können. Wenn das der Fall ist, ist die Addition die richtige Vorgehensweise. WEnn nicht, dann ist die Kovarianz noch zu berücksichtigen. Ich würde einmal vermuten, dass man in deinem Fall nicht von Unabhängigkeit ausgehen kann, schon aus dem einfachen Grund, weil Vögel ja von einem Gebiet ins andere wechseln können.

Eigentlich müsstest du dazu etwas in jedem Statistiklehrbuch unter dem Stichwort „Linearkombination von Zufallsvariablen“ finden. In dem Buch http://www.von-der-lippe.org/dokumente/INDFOR.pdf steht auf jeden FAll etwas in Übersicht 4.3 auf SEite 32.

Herzliche Grüße

Andreas

#3

Hi kerstin,

im Grunde geht das alles auf die Standardsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie zurück:

  1. SE(X) = (Var(X)/n)^1/2
  2. Var(a*X)=a^2*Var(X)
  3. SE(X + Y)=(SE(X)^2+SE(Y)^2)^1/2

Wenn X und Y deine dichten sind und a und b deine Gebietsgroessen sind, dann gilt:

Dann gilt
SE(a*X+b*Y)=(SE²(aX)+SE²(bY))^1/2 (wegen 3))
=(a²SE²(X)+b²SE²(Y))^1/2 wegen 1) und 2)

Das gilt unter der annahme, dass X und Y unabhängig und normalverteilt sind. Letzteres dürfte in der schätzung auf Basis der Interpolation eh schon enthalten sein, letzteres ist wohl inhaltich nicht zutreffend, weil die Gebiete wohl nicht strikt geographisch getrennt sind.
Als Annäherung dürfte es aber reichen.

Viele Grüße,
JPL

#4

Hi Andreas,
Vielen Dank fuer die schnelle Antwort, das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen!
Gruss,

Kerstin

#5

Hallo JPL,
Vielen Dank fuer die schnelle Antwort. Ich glaube die Schaetzwerte der Interpolation sind nicht normal verteilt sonder Poisson verteilt, weil wir (da die Daten Zaehlungen sind) als Methode Poisson Kriging benutzt haben. Ist damit die uebliche Regel hinfaellig? Was kann man in diesem Fall mit den SE machen?
Vielen Dank!

Kerstin

#6

Hi,

Vielen Dank fuer die schnelle Antwort. Ich glaube die
Schaetzwerte der Interpolation sind nicht normal verteilt
sonder Poisson verteilt, weil wir (da die Daten Zaehlungen
sind) als Methode Poisson Kriging benutzt haben.

Das hat damit nicht unbedigt etwas zu tun :smile:
Auch wenn du eine Poisson-verteilung „reinsteckst“ kann der Schätzer am Ende trotzdem normalverteilt sein.
ich habe jetzt kein paper zur Hand, dass die Verteilung der schätzer nach (ATA)-poisson-kriging beschreibt, aber ich würde annehmen(!) dass es passt. du kannst dir ja mal einen QQ-Plot über die Fehler ausgeben lassen (gleiches Vorgehen wie bei einer ANOVA).
Wichtiger ist ohnehin die unabhägngikeit. Wenn die nicht gegeben ist, musst du die Covarianzen mit einrechnen, d.h. für den SE noch 2*cov(X,Y) berücksichtigen.
http://www.math.unb.ca/~knight/BasicStat/ste_sum.htm
http://www.stat.berkeley.edu/~stark/SticiGui/Text/st…

Viele Grüße,
JPL

#7

Guten Morgen,
Super, vielen Dank. Bei grossen Stichproben Groessen naehert sich die Poisson Verteilung der Normalverteilung sowieso an, wenn ich mich recht erinnere.
Vielen Dank nochmal fuer deine Muehe,das hat mir wirklich weitergeholfen!

Kerstin