Hallo ElaMiNaTo,
die Idee mit den Kubikmetern hast Du ja schon selbst gehabt. In „höheren Dimensionen“ führst Du auch tatsächlich alles auf drei Dimensionen zurück, denn im Assoziativgesetz stecken nun einmal nur drei Parameter. Dieses "Zurückführen geht dann z.B. folgendermaßen:
z.Z. ist (a*b)*(c*d)=(a*(b*c))*d.
Lösung:
(a*b)*(c*d)=((a*b)*c)*d – hier wurde (a*b) als eine Zahl betrachtet
=(a*(b*c))*d. Fertig.
Aber was ich Dir eigentlich schreiben wollte, ist, wie Du 0,2*0,4*1,6 auf die Addition zurückführst:
Zuerst definierst Du Dir gebrochene Zahlen als a/b mit a,b ganzzahlig, b ungleich 0. Die Multiplikation gebrochener Zahlen definierst Du als
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ab}{cd}.
(Irgendwie musst Du ja erst einmal festlegen, wie Du mit Bruchzahlen rechnen willst.)
Und dann hast Du im Zähler und im Nenner jeweils ganze Zahlen, bei denen Du die Multiplikation ja auf die Addition zurückführen kannst. Du erhältst also das Assoziativgesetz für Brüche aus dem Assoziativgesetz für ganze Zahlen.
Bei reellen Zahlen wird’s dann analytisch, weil man die ja als Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich der Betragsfunktion definiert, und da muss man dann alles über Grenzwerte beweisen, das will ich jetzt nicht explizit ausführen. Aber hierbei überträgt sich dann das Assoziativgesetz von den rationalen auf die reellen Zahlen.
Sobald Du es also für N hast, hast Du’s auch für R. Und wenn Du’s ganz exakt machen willst, beweist Du das Assoziativgesetz für N mit den Peano-Axiomen – auch das geht. (Ich hab’s letztens mit dem Kommutativgesetz ausprobiert, weil ich wissen wollte, ob man das als Axiom braucht oder ob’s sich wirklich zeigen lässt. Es ging wunderbar. Das Schwierigste dabei ist, die Addition zweier natürlicher Zahlen sauber zu definieren.)
Liebe Grüße
Immo