Auch Mengenlehre (log. Fragen zur leeren Menge)

Wissenschaft Mathematik
1

Wir haben hier ein Streitgespräch zu einem alten Übungsblatt:

Es seien C = {Ø}, A = {C, {Ø}} und B = {{C}, Ø}

Welche Aussagen sind wahr?

  • Ø ∊ A
    Ich würde sagen wahr, weil die leere Menge in allen Mengen enthalten ist (sowohl als Element als auch als Teilmenge)

  • Ø ⊆ A
    Wahr (gleicher Grund wie zuvor)

  • C ∊ A
    Wahr, weil C oben als Element zu A definiert

  • C ⊆ A
    Wahr, weil C oben als Element zu A definiert und damit auch Teilmenge

  • Ø ∊ B
    Wahr (gleicher Grund wie ganz oben)

  • C ∊ B
    Unwahr, weil nur die Elemente der Menge C zu B definiert wurden, nicht aber die Menge C selbst

  • Ø ⊆ B
    Wahr (gleicher Grund wie ganz oben)

  • C ⊆ B
    Unwahr, weil die Menge C nicht B zugeordnet ist, sondern nur deren Elemente

Weiter heißt es: Wieviele Elemente hat A ∪ B
Ich sage: eines, nämlich die Teilmenge C

Wieviele hat A ∩ B?
Ich sage: keines, weil außer der leeren Menge (die bei der Mächtigkeit nicht gezählt wird) nix drin ist.

Stimmen meine Behauptungen? Kann hier ein Fachmann endgültige Aussagen machen? Das wäre klasse.

Vielen Dank
JayKay

2

Bin zwar kein Experte, ist aber ne interessante Frage,

Das läuft doch darauf hinaus ob
O=leere Menge Symbol

0={0} oder nicht ?

Ne leere Menge enthält ja nichts, sie ist leer,

aber wenn ich die leere Menge als Menge ansehe, kann diese Menge da sie ja eine Menge ist, auch als Element einder anderen Menge gezählt werden oder nicht ?
Dann hätte die Vereinigungsmenge aber nicht nur C als Element sondern auch {O} was ja nicht gleich O ist, oder?
Und {C} wäre ja auch in der Vereinigungsmenge… Ne Menge deren Elemente Mengen sind kann man doch bilden…

Naja, mal gucken wie die Diskussion weiter geht…
MfG
Oliver

3

Wir haben hier ein Streitgespräch zu einem alten Übungsblatt:

Es seien C = {Ø}, A = {C, {Ø}} und B = {{C}, Ø}

Welche Aussagen sind wahr?

  • Ø ∊ A

Ich würde sagen wahr, weil die leere Menge in allen Mengen
enthalten ist (sowohl als Element als auch als Teilmenge)

Hallo !

Die Antwort ist zwar richtig, aber die Begründung nicht.
In {1,2,3} ist ∅ z.B. als Teilmenge aber nicht als Element enthalten. ∅ ist in der Tat Teilmenge jeder Menge, aber als Element ist sie nicht in jeder Menge enthalten.

  • Ø ⊆ A
    Wahr (gleicher Grund wie zuvor)

gleiche Antwort wie zuvor :wink:

  • C ∊ A
    Wahr, weil C oben als Element zu A definiert

Richtig.

  • C ⊆ A
    Wahr, weil C oben als Element zu A definiert und damit auch
    Teilmenge

Auch richtig.

  • Ø ∊ B
    Wahr (gleicher Grund wie ganz oben)

Nein, sondern aus dem gleichen Grund wie bei Aussage 3.

  • C ∊ B
    Unwahr, weil nur die Elemente der Menge C zu B definiert
    wurden, nicht aber die Menge C selbst

Nein, die Menge der Menge C wurde als Element von B definiert, nicht die Elemente von C.
Die Aussage ist trotzdem unwahr, denn auch C wurde nicht als Element von B definiert. Man beachte, dass der Fall anders aussähe wenn C=∅ wäre, denn das ist ein Element von B.

  • Ø ⊆ B
    Wahr (gleicher Grund wie ganz oben)

s.o.

  • C ⊆ B
    Unwahr, weil die Menge C nicht B zugeordnet ist, sondern nur
    deren Elemente

Die Aussage ist wahr. Um das zu beweisen muss man zeigen, dass jedes Element von C auch ein Element von B ist.
Man wähle also ein belibiges Element aus C. Da C nur ein Element hat, nämlich ∅, kann man natürlich auch nur ∅ wählen. ∅ ist aber ein Element von B. Also ist C Teilmenge von B.

Weiter heißt es: Wieviele Elemente hat A ∪ B
Ich sage: eines, nämlich die Teilmenge C

Nein, A∪B enthält alle Elemente die in A oder B sind, also C={∅},∅ und {C}={{∅}}.
A∪B enthält also drei Elemente.

Wieviele hat A ∩ B?
Ich sage: keines, weil außer der leeren Menge (die bei der
Mächtigkeit nicht gezählt wird) nix drin ist.

Wenn ∅ in beiden Mengen enthalten wäre, würde sie auch als ein Element der Schnittmenge gezählt werden.
{1,∅}∩{2,∅} hat also ein Element. Du musst bedenken, dass
{1,∅}∩{2,∅} nicht ∅ sondern {∅} ist.
A∩B enthält aber in der Tat kein einziges Element.

Hoffentlich wird der Streit damit geschlichtet.

Gruß

hendrik

MOD: HTML-Tags vervollständigt.

4

Guten Morgen,

Es seien C = {Ø}, A = {C, {Ø}} und B = {{C}, Ø}

Welche Aussagen sind wahr?

Ø ∊ A
Ich würde sagen wahr, weil die leere Menge in allen Mengen
enthalten ist (sowohl als Element als auch als Teilmenge)

Nein! Die leere Menge ist zwar Teilmenge jeder Menge (denn jedes Element, das in ihr enthalten ist, ist auch in jeder anderen Menge enthalten), aber Element jeder Menge ist sie nicht! Die leere Menge ist ein Objekt wie andere auch und muss explizit als Element zu einer Menge dazugehören.

Ø ⊆ A
Wahr (gleicher Grund wie zuvor)

Richtig, Begründung siehe oben.

C ∊ A
Wahr, weil C oben als Element zu A definiert

Richtig.

C ⊆ A
Wahr, weil C oben als Element zu A definiert und damit auch
Teilmenge

Falsch. C ist zwar Element von A, aber nicht Teilmenge. Dazu müsste jedes Element von C auch in A enthalten sein. Die leere Menge ist Element von C, aber nicht von A (siehe oben; insofern evtl. ein Folgefehler von dir).

Ø ∊ B
Wahr (gleicher Grund wie ganz oben)

Richtig, aber der Grund ist der gleiche wie bei C ∊ A.

C ∊ B
Unwahr, weil nur die Elemente der Menge C zu B definiert
wurden, nicht aber die Menge C selbst

Richtig, unwahr. Nur die Begründung ist nicht ganz richtig: B enthält auf der einen Seite die leere Menge, also alle Elemente von C, damit ist C aber nicht Element von B. Auf der anderen Seite enthält B diejenige Menge, die als einziges Element C enthält. Und das ist wiederum eine andere Menge als C selbst.

Ø ⊆ B
Wahr (gleicher Grund wie ganz oben)

Richtig (ohne weiter hinzugucken: Leere Menge ist Teilmenge jeder Menge!)

C ⊆ B
Unwahr, weil die Menge C nicht B zugeordnet ist, sondern nur
deren Elemente

Falsch (obwohl die Begründung richtig klingt): C ist Teilmenge von B, denn B enthält jedes Element von C, nämlich die leere Menge.

Weiter heißt es: Wieviele Elemente hat A ∪ B
Ich sage: eines, nämlich die Teilmenge C

Die Antwort kann nicht stimmen: Eine Vereinigungsmenge hat immer mindestens so viele Elemente wie eine der Ausgangsmengen. Und B hat schon 2 Elemente, A hat eines.

A ∪ B hat 3 Elemente, nämlich Ø, {Ø} und {{Ø}}. (Oder anders geschrieben {}, {{}} und {{{}}}.)

Wieviele hat A ∩ B?
Ich sage: keines, weil außer der leeren Menge (die bei der
Mächtigkeit nicht gezählt wird) nix drin ist.

Natürlich wird die leere Menge bei der Mächtigkeit auch gezählt: |C| = 1. Die Schnittmenge von A und B ist aber tatsächlich leer (sie ist die leere Menge!), denn keines der Elemente ist in beiden Mengen enthalten.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Anscheinend hast du die leere Menge noch nicht richtig verstanden. Die leere Menge ist eine Box/ein Container/eine Wolke (oder wie auch immer du dir Mengen bildlich vorstellst) wie jede andere Menge auch, nur dass nichts drin ist. Die „Hülle“ bleibt aber, weswegen man diese „Hülle“ in andere Container als Element hineinstecken kann.

Viele Grüße

Andreas

5

Hallo Jens,

vieles wurde schon zu Deiner Aufgabe geschrieben, die Antwort von Andreas scheint mir (auf einen flüchtigen Blick) auch vollkommen richtig zu sein.
Wichtig ist aber, dass Du verstehst, was Du tust, und da kann ich Dir (eventuell) noch helfen.

Zunächst einmal: Was ist eine Menge? Das ist eine Ansammlung von Elementen. Mengenklammer geht auf, Elemente kommen rein, Mengenklammer geht zu.
Deshalb kann man die leere Menge nicht nur mit Ø bezeichnen, sondern auch mit {} - da geht die Klammer auf, kein Element kommt rein, und die Klammer geht wieder zu. Menge bleibt leer.

Was sind nun Elemente einer Menge? Einfach alles, was ich zwischen die öffnende und schließende Klammer geschrieben und mit Kommas getrennt habe. Dabei darf ich aber nicht weitere Klammern übersehen!
Beispiele: {1,2,3} hat die Elemente 1, 2 und 3. {} hat keine Elemente. {1,{2},3} hat die Elemente 1, {2} und 3 - aber nicht 2! {1,{2},2,3} hat jetzt auch 2 als Element. {1,{},3} hat 1, {} (d.i. die leere Menge Ø) und 3 als Elemente. {{}} hat nur {} (d.i. Ø) als Element, und {{{}}} hat nur {{}} (d.i. {Ø}) als Element, nichts weiter (also nicht Ø ohne Mengenklammern!)

Und was sind nun Teilmengen? Da muss ich die Klammer aufmachen, beliebig viele Elemente aus meiner gegebenen Menge reintun und die Klammer wieder schließen.
Teilmengen von {1,2,3} sind also {} (mit 0 Elementen), {1}, {2}, {3} (mit je einem Element), {1,2}, {1,3}, {2,3} (mit je zwei Elementen) und {1,2,3} (mit 3 Elementen).
Teilmengen von {1,{2},3} sind z.B. {1}, {{2}}, {1,{2}} … - aber nicht {2}, das tritt nur als Element auf! (ich habe vergessen, die Mengenklammer aufzumachen, bevor ich das Element hineintat, und hinterher die Klammer wieder zuzumachen.)
Teilmengen von {1,{2},2,3} sind z.B. {1}, {{2}}, {2}, {3}, {{2},2} … - und hier tritt eine Besonderheit auf: {2} ist sowohl eine Teilmenge als auch ein Element von {1,{2},2,3}.
Die einzige Teilmenge von {} ist {} selbst, denn ich kann ja aus 0 Elementen nicht mehr als 0 Elemente auswählen.
{{}} hat hingegen zwei Teilmengen: Ich kann 0 Elemente in die Teilmenge tun - dann bekomme ich {} -, oder ich kann 1 Element hineinpacken - und erhalte {{}}.

Ich hoffe, das ist jetzt klar.

Jetzt noch etwas, was Du zur Lösung Deiner Aufgabe benötigst: Du kannst ein Element so oft in eine Menge schreiben, wie Du willst - es ist trotzdem nur ein Element.
Beispiel: {1} ist die Menge, die die 1 enthält. {1,1} ist auch die Menge, die die 1 enthält - nichts weiter. {1,1,1,1,1,1,1,1} ist immer noch dieselbe Menge, sie hat nur ein einziges Element - die 1. [Das ist wie im Alltag: Stell Dir vor, Du machst eine große Party (30 Gäste), fertigst eine Gästeliste an, schreibst aber aus Versehen einen Gast doppelt auf. Dann hast Du zwar auf der Gästeliste 31 Namen eingetragen (einen hast Du ja doppelt), aber die Menge Deiner Gäste hat trotzdem nur 30 Elemente.]

So, nun zur Aufgabe.

Es seien C = {Ø}

Also C={{}}. Hatte ich oben schon mal als Beispiel. Welche Elemente sind da drin (zwischen öffnender und schließender Klammer)? Wieviele sind’s? Und welche Teilmengen (mit 0, 1, 2, 3, … Elementen) kannst Du daraus bilden?

A = {C, {Ø}}

Also A={ {{}}, {{}} }. Welche Elemente sind da drin? (u.s.w.)

B = {{C}, Ø}

Also B = { {C}, {} } = { { {{}} }, {} }. Ich gebe zu, jetzt wird’s unübersichtlich. Das ist auch der Grund, warum es das Symbol Ø gibt - das ist dann nicht so unübersichtlich. Aber es sind die gleichen Fragen zu beantworten: Welche Elemente sind da drin? (u.s.w.)

Welche Aussagen sind wahr?

Das solltest Du ja jetzt ganz leicht beurteilen können, wo Du Dir Deine Mengen A,B,C nun ganz genau angeschaut hast.

Weiter heißt es: Wieviele Elemente hat A ∪ B

Gut, mach einfach mal 'ne Mengenklammer auf, schreib alle Elemente aus A rein, dann alle aus B, und dann erst machst Du die Klammer wieder zu. Und dann guckst Du, welche Elemente da drin sind und wieviele das sind.

Wieviele hat A ∩ B?

Jetzt machst Du die Mengenklammer auf und denkst erst einmal kurz nach: Du nimmst Dir eines der Elemente von A und siehst nach, ob es auch als Element (!) in B vorkommt. Wenn ja, schreibst Du es in die Menge rein, wenn nein, dann halt nicht. Dann machst Du dasselbe mit dem nächsten Element aus A. Wenn Du alle Elemente aus A durch hast, kannst Du die Mengenklammer wieder zumachen. Was steht jetzt da?

Liebe Grüße
Immo

Hoffe, geholfen zu haben.

6

Hallo Immo,

Was sind nun Elemente einer Menge?

schöne Erklärung; dafür ein Sternchen, weil sie mich mit einer seligen Erinnerung an den Physiklehrer aus der „Feuerzangenbowle“ zurückließ: „Wat is’ een Dampfmaschien? – Da stelle mer uns mal janz dumm …“ :smile:

Gruß

Andreas

7

Hallo Andreas,

vielen vielen Dank für Deine superausführliche Antwort. Finde ich toll!

Es seien C = {Ø}, A = {C, {Ø}} und B = {{C}, Ø}

Welche Aussagen sind wahr?
Weiter heißt es: Wieviele Elemente hat A ∪ B
Ich sage: eines, nämlich die Teilmenge C

Die Antwort kann nicht stimmen: Eine Vereinigungsmenge hat
immer mindestens so viele Elemente wie eine der
Ausgangsmengen. Und B hat schon 2 Elemente, A hat eines.

A ∪ B hat 3 Elemente, nämlich Ø, {Ø} und {{Ø}}. (Oder anders
geschrieben {}, {{}} und {{{}}}.)

Das verstehe ich nun nicht: in der von Immo verfaßten (und von Dir bestätigten) Antwort heißt es: Mach alles aus den Mengen rein und guck, was da ist. Okay:

Aus A nehme ich C und {Ø}, aus B nehme ich {C} und Ø
Dann komme ich auf
A ∪ B = {C, {Ø}, {C}, Ø}.
Nach Immos Partybeispiel sind hier keine zwei gleichen Gäste, also habe ich doch vier Elemente, oder nicht? Woher hast Du die {{Ø}}, die Du dazugezählt hast? Selbst wenn ich das C durch das enthaltene Element Ø ersetzen würde, käme ich auf
A ∪ B = {Ø, {Ø}, {Ø}, Ø} = {Ø, {Ø}}
Aber diese Ersetzung darf ich ja nichtmal vornehmen, denn weiter unten schreibst Du ja, eine Menge (auch wenn sie leer ist), ist ein Container, der selbst Element einer anderen Menge ist. Wie kann ich das in A ∪ B enthaltene C dann ignorieren? Ich hätte eher gedacht, mann könnte nur das in B enthaltene {C} auflösen und als Ø schreiben, aber dann käme ich auf
A ∪ B = {C, {Ø}, Ø, Ø} = {C, Ø, {Ø}}
Kannst Du Dein Ergebnis noch etwas aufdröseln?

Wieviele hat A ∩ B?
Ich sage: keines, weil außer der leeren Menge (die bei der
Mächtigkeit nicht gezählt wird) nix drin ist.

Natürlich wird die leere Menge bei der Mächtigkeit auch
gezählt: |C| = 1. Die Schnittmenge von A und B ist aber
tatsächlich leer (sie ist die leere Menge!), denn
keines der Elemente ist in beiden Mengen enthalten.

Naja, je nachdem, wie Du auf vorgenanntes gekommen bist, müßte in der Schnittmenge dann aber doch etwas sein; wenn Du aus zwei Mengen mit je zwei Elementen in der Vereinigungsmenge auf drei Elemente kommst, sich also etwas kürzen läßt (weil es in beiden vorkommt), kann die Schnittmenge doch nicht leer sein?

Und noch eine Frage: Bei C = {} = Ø wäre dann aber |C| = 0, oder?

Nochmals allerbesten Dank für die super Unterstützung :smile:
JayKay

8

Hallo Vokietis,

ganz ganz herzlichen Dank für die eingehenden Erklärungen. Ich bin wirklich sooo dankbar, weil ich hier gänzlich feststecke.

Ich habe allerdings immer noch beträchtliche Probleme, Deine Antwort mit der von Andreas („flüchtig für gut befunden“) unter einen Hut zu bringen (siehe meine Rückfrage dort). Deine Erklärungen führen nämlich zu anderen Ergebnissen, sofern ich sie schon richtig verstanden habe.

Mal sehen, was Andreas dazu sagt.

Viele liebe Grüße
JayKay

PS: Sternchen gibts natürlich auch :smile:

9

Hallo JayKay,

Es seien C = {Ø}, A = {C, {Ø}} und B = {{C}, Ø}

A ∪ B = {C, {Ø}, {C}, Ø}.
Nach Immos Partybeispiel sind hier keine zwei gleichen Gäste,
also habe ich doch vier Elemente, oder nicht?

Nein, drei. :smile: Schau dir mal an, wie die Menge C definiert ist: Das ist gerade {Ø}, also ist da ein Element ( das eine Element) der Menge A doppelt aufgelistet in zwei unterschiedlichen Schreibweisen. Man kann die Menge A also auch so schreiben, wenn man möchte:

A = {C, {Ø}} = {C} = {{Ø}}

Selbst wenn ich das C durch das enthaltene Element Ø ersetzen würde

Achtung beim Ersetzen! Wenn du C ersetzt, dann durch die Menge, die Ø enthält, also {Ø}. Um das noch einmal zu betonen: Das ist etwas anderes als das enthaltene Element Ø.

Ich hätte eher gedacht, mann könnte nur das in B
enthaltene {C} auflösen und als Ø schreiben

Nein, C = {Ø}, also {C} = {{Ø}}.

Also alles zusammengenommen und Schritt für Schritt vereinfacht:

A ∪ B = {C, {Ø}} ∪ {{C}, Ø}
 = {{Ø}, {Ø}} ∪ {{C}, Ø}
 = {{Ø}} ∪ {{C}, Ø}
 = {{Ø}, {C}, Ø}
 = {{Ø}, {{Ø}}, Ø}

wenn Du aus zwei Mengen mit je zwei Elementen in der Vereinigungsmenge auf
drei Elemente kommst, sich also etwas kürzen läßt (weil es in
beiden vorkommt), kann die Schnittmenge doch nicht leer sein?

Richtig, gute Argumentation! Da wir jetzt aber geklärt haben, dass A nur ein Element hat, kannst du umgekehrt allein aus der Tatsache, dass bei der Vereinigung sich die Kardinalitäten addieren, schließen, dass der Schnitt leer ist.

Und noch eine Frage: Bei C = {} = Ø wäre dann aber |C| = 0,
oder?

Ja, genau. Und das ist die einzige Menge mit der Kardinalität 0, die überhaupt existiert.

Viele Grüße

Andreas

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