Hallo,
gegeben ist eine Folge (an)n € |N C R := an = (n+1)/(n^2+1). Diese soll ich auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert bestimmen.
Wie gehe ich da vor? Ich verstehe den Ansatz absolut nicht.
hallo
zuerst mußt du den Bruch-Term etwas umformen
und dann schauen was passiert wenn n unendlich groß wird
zuerst im zähler und nenner ein „n“ ausklammern
Z: n(1+1/n)
N: n(n+1/n)
dann n kürzen
Z: 1+1/n
N: n+1/n
Wenn n unendlich groß wird gehen die beiden Term 1/n gegen 0 da der nenner dieses Bruchs ja unenlich groß wird und der ganze Bruch damit unedlich klein.
Also geht der Zähler gegen 1.
und der Nenner gegen n.
Also bleibt vom ganzen Term nur noch die 1 im Zähler und das n im Nenner zu beachten. Das geht aber auch gegen null, so daß deine Folge an gegen null „konvergiert“
Gruß
hi,
gegeben ist eine Folge (an)n € |N C R := an = (n+1)/(n^2+1).
Diese soll ich auf Konvergenz untersuchen und ggf. den
Grenzwert bestimmen.
ich würd mal die ersten 10 folgenglieder berechnen. dann bekommst du ein gefühl dafür, wohin das ganze tendiert.
dann: du brauchst im zähler und im nenner folgen, die gegen etwas bestimmtes konvergieren, dann kannst du die grenzwertsätze anwenden. trick: die höchste vorkommende potenz der variablen herausheben, durch sie kürzen …
(n+1)/(n^2+1) = (n^2 * (1/n + 1/n^2)) / (n^2 * (1 + 1/n^2) =
= (1/n + 1/n^2) / (1 + 1/n^2)
da geht (für n -> oo) der zähler gegen 0 und der nenner gegen 1. also …?
m.
Hallo,
Sehe ich das richtig?
a_n=\frac{n+1}{n^2+1}
Ich empfehle Dir eines der Konvergenzkriterien anzuwenden, in diesem Fall das Quotientenkriterium:
Eine Reihe an konvergiert dann, wenn gilt
\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
In Deinem konkreten Fall:
\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+3n+2}{n^4+3n^2+2} =0
Deine Reihe konvergiert, der Grenzwert ist ehr zufällig gleich Null.
Gruß,
David
(n+1)/(n^2+1)
Zähler und Nenner durch n^2 teilen liefert:
1/n+1/n^2
1+1/n^2
für lim n–>oo wird der Zähler = Null und der Nenner = 1
0/1=0 die Folge konvergiert gegen den Grenzwert : Null
Ciao
Horst
moin;
soweit ich das sehe, geht es um die Folge an, nicht um die daraus entstehende Reihe.
Allerdings kann man daraus, dass die Reihe der Folgenglieder konvergiert, schließen, dass der Limes der Folgenglieder 0 ist.
Ein „direkter“ Beweis für die Konvergenz dieser Folge sähe (grob skizziert) so aus:
Eine monoton wachsende und beschränkte Folge ist konvergent, dh. an konvergiert, wenn:
- \forall n\ge n_0: a_{n+1}\le(bzw. \ge) a_n
- \forall b\in R\ \exists c\in R\ \forall n: |a_n-b|\le c
Sowohl die Monotonie ist bei der Folge gegeben, als auch die Beschränktheit (c≥b+1), womit die Folge konvergiert 
mfG
huhu;
sorry, die Korrekturschreiben müssen sein 
natürlich sind nicht nur die monoton wachsenden, sondern auch die monoton fallenden, wie die in dem Beispiel gegebene, Folgen konvergent, wenn sie eben auch noch beschränkt sind ^^
mfG
Hallo zusammen,
erstmal vielen Dank für eure Hilfe! Ich bin damit schon einen Schritt weitergekommen.
Was mir noch nicht klar ist: Wie komme ich von einem Ausdruck, wie zum Beispiel
(1 + 1/n) / (n + 1/n) oder
1/n+1/n^2
1+1/n^2
nun auf eine 0 oder eine 1? Ich blicke da irgendwie nicht durch. Ich weiß zwar desto größer n, desto mehr nähert sich der Term 0, jedoch habe ich nicht den blassesten Schimmer, wie ich ohne Einsetzen auf konkrete Werte kommen soll und dabei auch noch garantieren kann, dass hier keine Divergenz entsteht.
Hey,
1/n+1/n^2
1+1/n^2
Nun ja, wenn du jetzt n gegen unendlich laufen lässt, schaust du dir halt alles einzeln an.
1/n geht gegen 0
1/n^2 geht gegen 0
1 geht gegen 1
1/n^2 geht wieder gegen 0
Also hast du doch für den Grenzwert nichts anderes wie:
\frac{0+0}{1+0} = 0
Gruß René
1/n geht gegen 0
1/n^2 geht gegen 0
1 geht gegen 1
1/n^2 geht wieder gegen 0
Wie Du darauf kommst, verstehe ich ja. Nur wie mache ich das rein rechnerisch? Setze ich für n einen beliebigen Wert ein?
Ich habe Mathematik immer nur an konkreten Beispielen lernen können, die fehlen mir an der FH jetzt leider irgendwie. Deswegen fällt mir der Einstieg in die Analysis auch so dermaßen schwer.
Hey,
rein rechnerisch macht man da eig nicht mehr viel.
Es gibt halt paar Grenzwertsätze, die man verwenden darf ohne sie beweisen zu müssen, da sie zu trivial sind.
Dazu gehört:
\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n}) = 0
\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{n}) = 1
\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{n!}) = \infty
Mehr fällt mir grad nicht ein
Gruß René
Hallo Bozz,
Es gibt halt paar Grenzwertsätze, die man verwenden darf ohne
sie beweisen zu müssen, da sie zu trivial sind.
Naja, einmal beweist man sie schon, und trivial ist das ganz und gar nicht. (Nun gut, 1/n -> 0 ist schon trivial.)
\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n}) = 0
Man möchte also beweisen, dass für genügend große n (ab N0) der Ausdruck 1/n (betragsmäßig, aber das hier ist eh positiv) unter jedes vorgegebene ε>0 sinkt. Also löst man die Gleichung:
1/n 1/ε 1/ε wähle, sorgt die Transitivität der Ordnungsrelation dafür, dass die gewünschte Eigenschaft gilt.
Das war wirklich trivial. Aber
\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{n}) = 1
Das muss man erst einmal zeigen, also dass (n1/n - 1) für n > N0 unter einen beliebigen Wert sinkt. Das ist aber so was von überhaupt nicht trivial, da weiß ich grad gar nicht, wie man das zeigen kann. Muss man mal 'nen Analytiker fragen - ich denke, das gehört zu den Standardbeispielen in der Analysis-I-Vorlesung.
\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{n!}) = \infty
Und das ist noch schlimmer! Mit Fakultät rechnet’s sich immer schwer, hier muss man (n!)1/n nach unten abschätzen - keine Ahnung, wodurch.
Ohne meinen Analytiker sag ich dazu nichts mehr.
Liebe Grüße
Immo
Hey Immo,
dann hätte ich lieber schreiben sollen, dass ich es benutzen darf, da ich das ganze Zeug letztes Semester beweisen musste
Bei
\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1
hab ich derletzt was schönes gesehen.
a_n = \sqrt[n]{n}
b_n = ln(\sqrt[n]{n}) = \frac{ln(n)}{n}
\lim_{n \to \infty}b_n = \lim_{n \to \infty}\frac{ln(n)}{n} = 0
Wenn der ln gegen 0 geht, muss a_n gegen 1 laufen.
________
\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n!} = \infty
Yep, muss man abschätzen…wenn mich nicht alles täuscht mit der Formel von Stirling.
http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Formel
Gruß René
1 „Gefällt mir“
Vielen Dank, René!
Auf die Formel von Stirling wär ich jetzt wirklich nicht gekommen. Na, wenn man die erst mal hat, wird’s sicher auch mit dem Logarithmus weitergehen. Probier ich jetzt nicht aus, glaub ich so.
Liebe Grüße
Immo