Hallo!
Ich habe ein mathematisches Problem aus dem Themenbereich der linearen Algebra und dem Umgang mit Logarithmusfunktionen.
Also, das Problem lautet wie folgt:
„Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte der Funktionenschar ft(x) = (ln(x))^2 + t*ln(x) ?“
Grüße
Antonius
„Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte der
Funktionenschar ft(x) = (ln(x))^2 + t*ln(x) ?“
f_t(x) = \ln^2(x) + t \ln(x)
Nullstellen der Ableitung:
x = e^{-\frac{t}{2}}
Das sind die Extremstellen in Abhängigkeit von t.
Daraus kannst du dir jetzt die Ortskurve zusammenbasteln.
mfg,
Ché Netzer
Hallo,
guckst du da: http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=8ea320-1…
f ist der Graph der Ursprungsfunktion, g der Graph der Hochpunkte.
Gruß
Hossa 
„Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte der
Funktionenschar ft(x) = (ln(x))^2 + t*ln(x) ?“
Wie CheNetzer ja bereits richtig geschrieben hat, liegen die Extrema bei x=exp(-t/2). Die zugehörigen y-Werte erhält man durch Einsetzen in die Kurvenschar:
y=f_t\left(e^{-t/2}\right)=\left(-\frac{t}{2}\right)^2+t\cdot\left(-\frac{t}{2}\right)=\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{2}=-\frac{t^2}{4}
Die Extremwerte liegen also bei:
x=e^{-t/2}\quad;\quad y=-\frac{t^2}{4}
Um daraus eine Funktionsgleichung zu bauen, löst du die x-Formel nach t auf:
t=-2\ln x
und setzt das Ergebnis in die y-Gleichung ein:
y=-\frac{\left(-2\ln x\right)^2}{4}
y=-\ln^2x
Und das ist wiederum die Kurve, die Lehrerlein geplottet hat.
Viele Grüße
Hasenfuß
