Auf K:=R x R seien die Operationen + und * definiert durch
(a, b) + (c, d) := (a+c, b+d)
(a, b) * (c, d) := (ac, bd)
Weiter sei 0(k) := (0, 0), 1(k) := (1, 1)
Ist K ein Körper?
Falls nein: Welche Axiome sind verletzt?
Wie ist bei dieser Aufgabe vorzugehen?
Ich schätze, dass K kein Körper ist (alleine schon deshalb, weil es eine Zusatzfrage gibt).
Aber wie beweisei ch das und wie überprüfe ich, welche Axiome verletzt sind?
Vielen Dank!
Auf K:=R x R seien die Operationen + und * definiert durch
(a, b) + (c, d) := (a+c, b+d)
(a, b) * (c, d) := (ac, bd)Weiter sei 0(k) := (0, 0), 1(k) := (1, 1)
Ist K ein Körper?
Falls nein: Welche Axiome sind verletzt?Wie ist bei dieser Aufgabe vorzugehen?
Ich schätze, dass K kein Körper ist (alleine schon deshalb,
weil es eine Zusatzfrage gibt).
Aber wie beweisei ch das und wie überprüfe ich, welche Axiome
verletzt sind?
Hm. Der Beweis, dass K kein Körper ist, würde voraussetzen, dass man ein einziges Gegenbeispiel findet, also eine Konstellation, die eins der Axiome verletzt. Der Beweis, dass K ein Körper ist, besteht darin, die Gültigkeit jedes einzelnen Axioms zu zeigen. Wenn man beim Beweis der Axiome irgendwo auf ein Problem stösst, könnte das das für die Widerlegung der Körpereigenschaft gesuchte Gegenbeispiel hergeben.
K ist ein Körper
Die Gruppenaxiome sind wiederum jeweils
a. Assoziativitaet
b. Kommutativitaet
c. Existenz neutrales Element
d. Existenz inverses Element für JEDES Element
Gelten also die Gruppenaxiome für alle Elemente? Fangen wir z.b. mit Axiom 1a, der Assoziativit der additiven Gruppe an:
(a,b) + (c,d)
= (a+c, b+d) [Definition der Operation „+“]
= (c+a, d+b) [Kommutativität in R]
= (c,d) + (a,b) [Definition „+“ andersrum angewendet]
Die gilt also.
Ich mach jetzt noch zum Spaß 1d), die Existenz des Inversen. Mal angenommen, es existiere, dann würde es wie folgt funktionieren.
(a,b) + (x,y) = (0,0)
(a+x, b+y) = (0,0) [Anwendung Definition]
a+x = 0 UND b+y = 0
x = -a UND y = -b
Da alle Schritte, die ich gemacht habe, in jedem Fall umkehrbar sind (das sagt das Zeichen „“ aus), kann ich für jedes (a,b) x = -a und y = -b setzen und erhalte etwas, das die Eigenschaften des Inversen Elements aufweist.
Ich habe die Existenz durch Konstruktion des Inversen bewiesen. Dabei muss ich alle Fälle erfassen, der Weg muss für alle a und alle b gleichermaßen gelten. Da für jedes a und jedes b auch ein -a und -b in den reellen Zahlen existiert, funktioniert das.
Wenn du das konsequent weiterführst, findest du entweder heraus, dass es ein Körper ist, oder kommst irgendwo nicht weiter. Da könnte das Gegenbeispiel lauern.
SPOILER AHEAD:
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Also für die Addition wird es mit der Gruppe wohl klappen. Bei der Multiplikation könnte es interessanter werden.
Viele Grüße,
Sebastian
Hallo,
Also für die Addition wird es mit der Gruppe wohl klappen. Bei
der Multiplikation könnte es interessanter werden.
genau. Es ist sogar unmittelbar ersichtlich, dass dieses K nicht nullteilerfrei ist, denn beispielsweise das Produkt (0, 1) * (1, 0) ergibt Null (0, 0), obwohl beide Faktoren ungleich Null sind. Damit kann man die Frage „K Körper?“ schon mit nein beantworten. Es ist natürlich reizvoll, nachzurechnen, dass die „richtige“ Multiplikationsvorschrift (die der komplexen Zahlen) tatsächlich allen Körperaxiomen genügt.
Gruß und eine gute Nacht
Martin
genau. Es ist sogar unmittelbar ersichtlich, dass […fertige Lösung]
Ich glaube, der Fragesteller wollte eigentlich keine Lösung auf dem Silberteller, sondern vor allem Hinweise, wie man sie finden kann. Eigentlich lösen wir hier ja bekanntlich keine Hausaufgaben 
.
Grüße,
Sebastian
Kleine Korrektur: Körper- und Gruppenaxiome
Hi,
nur eine kleine Korrektur, die Kommutativität ist falsch einsortiert:
K ist ein Körper
- (K,+) ist eine abelsche (= kommutative) Gruppe
- (K \ {0}, *) ist eine abelsche Gruppe („0“ ist das neutrale Element
der Gruppe (K,+)- Distributivität
Die Gruppenaxiome sind wiederum jeweils
a. Assoziativitaet
b. Kommutativitaet Abgeschlossenheit
c. Existenz neutrales Element
d. Existenz inverses Element für JEDES Element
Kommutativität ist die zusätzliche Eigenschaft abelscher Gruppen (hier aber richtig weil Teil der Körperaxiome).
Gruß,
Ralf
Die Gruppenaxiome sind wiederum jeweils
a. Assoziativitaet
b. Kommutativitaet Abgeschlossenheit
c. Existenz neutrales Element
d. Existenz inverses Element für JEDES ElementKommutativität ist die zusätzliche Eigenschaft abelscher
Gruppen (hier aber richtig weil Teil der Körperaxiome).
Richtig, kommutative Gruppen. Ups, danke für die Verbesserung. Dass Gruppen nicht unbedingt kommutativ sind, ist mir heute früh bei einer Kaffeerunde mit Kollegen (bei einem zufällig ähnlichen Thema) auch mal wieder klargeworden 
.
Viele Grüße,
Sebastian