Aufgabe mit Graphischer Darstellung lösen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo liebe Experten!

Ich habe seit gestern einen TI-89 Titanium. Ich möchte nun mittels seiner Graphischen Darstellung eine Aufgabe lösen, weiss aber nicht wie ich das anstellen soll. Rechnerisch, kann ich diese Aufgabe problemlos lösen:

Aufg.:
Die Mittelline einer Rennbahn wird durch 4-0.5x^2 beschrieben. Ein Auto rutscht bei spiegelglatter Fahrbahn an einem Punkt P0 (x/y) und landet im Punkt Y (0/6) in den Strohballen. Die obere Fahrbahnbegrenzung wird durch 5-0.5x^2 beschrieben. Wo hat das Fahrzeug die Fahrbahn verlassen?

Ich habe erkannt, dass das Fahrzeug tangential „aus der Fahrbahn fliegt“. Also berechnete ich zuerst die Steigung der Tangente mit der Punktsteigungsformel aus, und kam dann auf x1 = 2 ; x2 = -2 . Da das Fahrzeug lediglich auf der linken Seite des Koordinatensystems eine positive Tangentensteigung aufweist, nehme ich x = 2. Nun kann ich die Tangentengleichung von 4-0.5x^2 aufstellen, es kommt 2x+6 heraus. Nun setze ich die Tangentengleichung mit 5-0.5x^2 gleich und löse nach null auf, wende die quadratische Formel (nennt man die so?) an und für x1/2 = 2±Wurzel (2). Also verlässt das Auto die Fahrbahn ungefähr am Punkt (-0.59/4.82).

Was wäre aber, wenn ich das ganze schneller lösen wollte, graphisch und mit meinem Taschenrechner? Welche Befehle muss ich in den Taschenrechner eingeben? Ist das hier überhaupt das richtige Brett?

Vielen Dank im Voraus

Gruß Aqib

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Hey Aqib,

also ich denke schon, dass das hier das richtige Brett ist.

Zu deiner Aufgabe:

Ich habe erkannt, dass das Fahrzeug tangential „aus der Fahrbahn :fliegt“.

Richtig.

Also berechnete ich zuerst die Steigung der Tangente mit der :stuck_out_tongue:unktsteigungsformel aus, und kam dann auf x1 = 2 ; x2 = -2 .

Falsch. Woher weißt du denn, wo die Tangente liegt?
An dem Schaubild liegen ja unendlich viele Tangenten an…jede mit einer unterschiedlichen Steigung.
Folglich würde ich sagen, dass der komplette andere Rechenweg auch falsch ist.

Jetzt wie man es mit dem Taschenrechner lösen kann
(habe selber keinen mehr, kann also sein, dass es eine bessere, schnellere und einfachere Methode gibt):

f(x) = 4 - \frac{1}{2}x^2

Gesucht:
(x_0|f(x_0))

Ich an deiner Stelle hätte mir erstmal überlegtm wie die Tangente aufgebaut ist:
y = mx +c

m ist die Steigung der Tangente. Um diese zu berechnen, leitest du die Funktion ab. Wenn du jetzt einen festen Punkt hättest, könntest du ihn explizit ausrechnen - da der feste Punkt aber gesucht ist, können wir noch nicht viel machen und es bleibt:
m = f’(x_0)

c ist der y-Achsenabschnitt. Den können wir - wie es der Zufall so will - schon bestimmen, da der Punkt, der angegeben wurde ((0|6)) eine Besonderheit hat: x = 0.

So und was wir jetzt noch brauchen ist ein allgemeiner Punkt, der auch noch auf der Tangente liegt: Wie wäre es da mit
(x_0|f(x_0))?

Das alles in deine Tangentengleichung einsetzen und du bekommst eine Gleichung, die nur noch x_0 als Variable hat und den kann man eindeutig bestimmen.

Im GTR-Funktionenmenü hätte ich also eingegeben:

  1. f(x)
  2. f’(x)
  3. Tangentengleichung mit 1. und 2. eingesetzt und nach 0 aufgelöst

Dann hätte man im Graphen nur noch die Nullstelle von Funktion 3. ausrechnen brauchen.

Aber ich stimme dir zu, dass man per Hand eig genau so schnell bzw vllt noch schneller ans Ziel kommt.

Gruß René

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Hallo The Bozz,

Vielen Dank für deine Bemühungen. Doch es geht mir nicht darum dass Problem mit dem Taschenrechner rechnerisch zu lösen, sondern viel mehr das Problem mit dem Taschenrechner graphisch zu lösen.

Also berechnete ich zuerst die Steigung der Tangente mit der :stuck_out_tongue:unktsteigungsformel aus, und kam dann auf x1 = 2 ; x2 = -2 .

Falsch. Woher weißt du denn, wo die Tangente liegt?
An dem Schaubild liegen ja unendlich viele Tangenten an…jede
mit einer unterschiedlichen Steigung.
Folglich würde ich sagen, dass der komplette andere Rechenweg
auch falsch ist.

Ich hab ja einen Laufpunkt der Tangente: (0/6) - der Punkt in dem das Fahrzeug landet.

Gruß Aqib

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Hey Aqib,

aus einem Punkt kriegt man aber schlecht eine Steigung raus :wink:

Zu deinem Problem weiß ich leider auch nicht mehr. Bei uns war es immer so, dass man eine gewisse Grundrechnung immer machen muss…die Lösung konnte man dann graphisch ablesen bzw darstellen lassen.

Gruß René