Aufgabe von einer Musterklausur

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe hier eine Aufgabe auf dessen Lösung ich einfach nicht komme…Ich hoffe ihr könnt mir schnell helfen, da ich am Dienstag eine Klausur schreibe.
Aufgabe:
Eine Abfüllmaschine füllt ein bestimmtes Erzeugnis in Dosen. Das Nettogewicht einer Dose ist eine normal verteilte Zufallsgröße. Die Standartabweichung als Maß für die Präzision mit der die Maschine arbeitet, sei 8g. Auf welchen Mittelwert ist die Maschine einzustellen, wenn nur 5% aller Dosen weniger als 250g enthalten sollen?

Bitte dringend um Hilfe, denn ich verzweifel daran.

#2

hi und sorry, aber ich kann dir da nicht weiter helfen. Hoffe, ein anderer hier weiß mehr. gruß Robert

#3

Hallo :smile:
Also du möchtest, dass
P(NG (250-mu)/8

#4

Hi,

du weißt aus der Aufgabe, dass
P(X 250 lifern wird, da q negativ sein wird.

Grüße,
JPL

#5

hallo anni88
bei einer normalverteilung weiss man ja, wie viel prozent der beobachtungen (=dosen) höchstens wie viele standardabweichungen vom mittelwert abweichen.
konkret: 66% (wenn ich mich richtig erinnere) der beobachtungen liegen innerhalb des bereichs mittelwert plus/minus eine standardabweichung, 95% (wenn ich mich richtig erinnere) innerhalb von mittelwert plus/minus zwei standardabweichungen.
wenn nun also nur 5% der beobachtungen kleiner als 250g sein sollen, musst du heraussuchen, in welchem bereich (d.h. höchstens wie viele standardabweichungen vom mittelwert entfernt) 90% der beobachtungen liegen. 10% darum, weil dann ja 5% darüber und 5% darunter liegen (und uns interessieren ja nur die 5%, die drunter liegen).
nehmen wir an, das wären dann 1.5 standardabweichungen. dann musst du denn mittelwert auf 250 + 1.5 * 8 = 250 + 12 = 262 g einstellen.
alles klar?
gruss, rolf

#6

Zur Lösung dieser Aufgabe hilft die Standard-Normalverteilung, mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1. Es gibt ausführliche Tabellen, die geben zu jeden z-Wert die Fläche unter der Kurve der Normalverteilung an. z. B. in Bortz: „Lehrbuch der empirschen Forschung“, Anhang E, Tabelle E1, Seite 536.

Diese Tabelle zeigt, dass in einem Intervall des Z-Wertes von minus unendlich bis minus 2,58 Standardabweichungen weniger als 5% der Fälle liegen.

Wenn ich jetzt vom gesuchten Mittelwert (-2,58)*8g abziehe dann habe ich die 95%ige Wahrscheinlichkeit dass alle Dosen mindestens 250g enthalten. Oder einfacher: 95% der Dosen werden mindestens 250g enthalten.
Hier ein Beispiel wie sich das berechnen lässt:
((-2,58)*8)+x=250
daraus ergibt x=270,64
D. h. wenn die Maschine mit 270,64 g im Mittelwert eingestellt ist, werden 95% aller Dosen mit mindestens 250 Gramm befüllt werden.

Viel Erfolg
Günther Zier, mag.psych.

#7

Hallo,

kleiner Tipp am Anfang: Laut Statuten sind solche Anfragen in wer-weiss-was nicht erlaubt.

Trotzdem ein Hinweis: Ich gehe mal davon aus, dass du weißt, wie man eine Wahrscheinlichkeit bei einer Normalverteilung ausrechnet (mit Standardisierung). Hier gehst du genauso vor, nur mit dem Unterschied, dass du diesmal die Wahrscheinlichkeit, die raus kommt, kennst (steht in der Aufgabe) und dir der Erwartungswert (das ist nämlich der gesuchte „Einstellungswert“) fehlt. Also: Vorgehen wie gewohnt, nur am Ende nach my hin auflösen.

Gruß, Andreas

#8

Hallo anni88

Du kennst die Standardabweichung der Verteilung. Du suchst nun den Mittelwert, bei dem die untere Grenze (=250 g) nur von 5 % der Werte unterschritten wird. Du suchst also den u-Wert (Standardnormalvertielung), der zu 95 % gehört. Diesen Wert multiplizierst du mit der Standardabweichung. So hast du die Differenz zwischen der unteren Grenze und dem Mittelwert. Um den Mittelwert zu erhalten, addierst du deshalb diese Differenz zu der unteren Grenze.

Gruss
pepo

#9

Hi Anni,

Die Dosenfüllung ist normalverteilt; wenn Du also Mittelwert m einstellst, dann ist die Wahrscheinlichkeit, unter 250g zu kommen, die Wahrscheinlichkeit einer kumulierten Normalverteilung mit Mittelwert m und STDV 8. Die kumulierte Normalverteilung musst Du per Tabelle nachschauen oder mit einem Computer berechnen, das geht nicht per Hand.

Tatsächlich ist die Aufgabe hier nett gestellt, denn 5% liegt (fast) genau bei 2 stdv unter dem Mittelwert; in diesem Fall müsstest Du also zwei STDV über 250g Deinen Mittelwert anlegen, d.h. bei 16 g darüber, d.h. bei 266g (mit leichten Rundungsfehlern :smile:.

Gruß,

Timo

#10

Hups, da bin ich wohl ein wenig spät dran…
Viel Erfolg morgen!