Aufgabe zu Äquivalenzrelation/ Gruppe

Wissenschaft Mathematik
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Bekomme diese Aufgabe nicht hin:

1.Wir schreiben abkürzend R^n:= R x…x R (n-mal) für die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen. Welche der folgenden TEilmengen definieren eine Äquivalenzrelation? Begründen Sie Ihre Antworten.

(a) A:={(x1, x2), (y1, y2)) € R² x R² I x1 - y1 = x2 - y2}
(b) B:= {x, y) € R x R I x-y € Z}
© C:= { (x,y) € R x R I x - y € R>o} wobei R>o := {z € R I z>o}
(d) Beschreiben Sie in den Fällen, in denen eine Äquivalenzrelation vorliegt, die Äquivalenzklassen geometrisch.

2.Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und x € G ein festes Element. Zeigen Sie:

(a) Es gibt ein kleinstes k € N mit x^k = e. (k nennt man die Ordnung von x.)

(b) Ist k die Ordnung von x, so gilt: B = {x, x², …, x^k} ist eine Untergruppe von G, die abelsch ist und k Elemente besitzt.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen, da ich bis morgen fertig sein sollte.
Grüße Larry

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Lieber Larry,

ein paar eigene Ideen wären kein schlechter Ansatz. Als Anregung:

Bei einer Äquivalenzrelation hat man zu zeigen:
(i) Reflexivität (d.h. x~x)
(ii) Symmetrie (d.h. x~y ==> y~x)
(iii) Transitivität (d.h. x~y und y~z ==> x~z)

Zu 1:
(a) Vollkommen trivial sind (i) und (ii) … und auch (iii). Denn gelte x1-y1 = x2-y2 und y1-z1 = y2-z2. Dann folgt durch Einsetzen das Gesuchte:

x1-z1=x2-y2+y1+y2-z2-y1=x2-z2

Also haben wir eine Äquivalenzrelation.

(b) Auch hier ist (i) und (ii) trivial, (iii) funktioniert vollkommen analog zu (a) durch Einsetzen. Wieder eine Äquivalenzrelation.

c und d überlasse ich Dir. Bei (d) ist ja letztlich nur eine Zeichnung gefragt :wink:

Zu 2:
(a) Sei etwa |G|=n. Betrachte die Menge {x^0,x^1,…,x^n}. In dieser n+1-elementigen Menge kommt ein Element doppelt vor (da wir eine Teilmenge einer n-elementigen Menge betrachten). Sei etwa x^a=x^b mit 0

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Hi Larry,

bis morgen?? Na dann mal ran.

Also zu 1:
für eine Äquivalenzrelation ist zu zeigen:
i) Reflexivität, ii) Symmetrie iii) Transitivität

zu a)
i) sei (x1,x2)€R² beliebig. so ist ((x1,x2), (x1,x2))€A, denn x1-x1=0=x2-x2 für alle (x1,x2)€R²
ii) sei ((x1,x2), (y1,y2))€A => x1-y1= x2-y2 => y1-x1=y2-x2 => ((y1,y2), (x1,x2))€A => symmetrisch
iii) seien ((x1,x2), (y1,y2)) und ((y1,y2),(z1,z2))€A
Zeige nun ((x1,x2),(z1,z2))€A, dann ist es transitiv

zu b)
ähnlich wie a)
i) reflexiv: (x,x)€B für alle x, da x-x=0€Z
ii) symmetrisch: ist (x,y)€B, so ist auch (y,x)€B, denn wenn x-y€Z, so ist auch y-x€Z
iii) transitiv: sind (x,y) und (y,z)€B, so ist zu zeigen, dass auch (x,z)€B ist. x-y€Z und y-z€Z also ist auch (x-y)+(y-z)€Z (Z ist eine Gruppe), also ist x-z€Z, also (x,z)€B

c) C ist keine Äquivalenzrelation, die Symmetrie scheitert:

z.B. x=2, y=1, dann ist (x,y)€C, denn x-y=2-1€R>0
aber (y,x) ist nicht €C, denn 1-2 ist nicht € R>0

d)
bei a) sind es die Diagonalen in der R²-Ebene
bei b) ist eine Äquivalenzklasse die Menge aller Punkte auf der Zahlengerade, die immer den Abstand 1 haben… oder so ähnlich…

Sei n die Anzahl der Elemente aus G.

Angenommen es gäbe kein kleinstes k.
Dann gäbe es ein x€G, für das für alle k€N gilt x^k ist nicht e. Insbesondere für k=n+1.
Sei nun x1=x^1, x2=x^2 usw bis xk=x^k. Dies sind n+1 Elemente. es muss also zwei Indizes i und j geben mit xi = xj also x^i = x^j. Sei o.B.d.A. i

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Danke war echt hilfreich :wink:.

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Hallo Larry,
ich war im urlaub und offline. brauchst du jetzt noch ne antwort auf die frage, oder hat es sich inzwischen erledigt?

gruß, pauline