Zwei Beobachter stehen einige Kilometer voneinander entfernt in der Landschaft.
Ist es möglich, daß ein Kunstflieger am Himmel eine Figur fliegt, so daß der eine Beobachter in der Projektion einen Kreis sieht und der andere Beobachter gleichzeitig ein Quadrat ?
Hallo
Ich wage es hier zwar nicht etwas über Kunstfliefer und ihre Fähigkeiten zu behaupten. Deshalb formuliere ich die Frage etwas abstrakter.
Gibt es eine Kurve im R3, so dass die Projektion in die eine Richtung ein Quadrat ergibt und eine Projektion in eine andere (dazu senkrechte) Richtung einen Kreis.
Diese Frage ist klar mit ja zu beantworten und ich sehe diese Kurve genau auf meinem Blatt Papier. Ich versuche es zu erklären. Der eine Beobachter (1) sieht die Projektion auf die x/z-Ebene, der andere (2) diejenige auf die y/z-Ebene. Folgende Teile ergeben zusammen die Kurve:
Alles klar? Ich hoffe ich habe mich nicht verguckt.
Gruss Urs
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Wunderbar.
Anhand Deiner Erklärung kann ich es mir wie folgt vorstellen:
Man denkt sich einen virtuellen Zylinder, bei dem Höhe und Durchmesser gleich groß sind.
Wenn man senkrecht auf die Grundfläche schaut, sieht man einen Kreis, wenn man senkrecht auf die Seite schaut, sieht man ein Quadrat.
Nun muß man diesen virtuellen Körper nur noch so im Raum justieren, daß der eine Beobachter genau auf die Grundfläche des Zylinders schaut und der andere auf eine Seitenfläche.
Dann kann der Flieger losfliegen. Er fliegt zum Beispiel erst einen Halbkreis an der Grundflächenkreisperipherie, biegt dann, so weit fliegertechnisch möglich, nahezu im rechten Winkel ab und fliegt die die eine Seite des Zylinders hinauf, dann biegt er abermals im rechten Winkel ab, aber in die andere Richtung und fliegt erneut einen Halbkreis, nun an der Deckelkante des Zylinders, und das ganze dann noch einmal spiegelverkehrt auf der anderen Seite zurück.
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Die echte Herausforderung wäre jetzt ja noch die zweimal stetige Differenzierbarkeit, damit das ganze auch realistisch wird…
Die zweimalige stetige Differenzierbarkeit würde bedeuten, daß die erste Ableitung der Kurve - also jene mathematische Funktion, welche das Anstiegsverhalten der Kurve beschreibt - keinen Knick aufweist. Und dies wiederum würde bedeuten, daß das Flugzeug auf dem Weg entlang der Kurve keine schlagartige Änderung der Fliehkräfte erfährt. Das wäre zweifellos von Vorteil, damit der Pilot nicht mit Froschaugen wieder herunterkommt oder gar seine Maschine auseinanderfällt 
Aber Spaß beiseite, ein Kunstflieger wird schon wissen, wie er einen annähernd rechten Winkel fliegen muß, damit er noch Freude daran hat. Eine Flugbahn ist ja ohnehin keine absolut genaue Linie, sondern sie ringelt sich und schwingt um ein solches Abstraktum.
Mathematisch interessant wäre hier weiterhin die Frage, ob die intuitiv gefundene Kurve die einzige Lösung darstellt. Ich sehe da im Moment keinen Ansatz, diese Frage zu beantworten. Hat vielleicht jemand eine Idee ?
Die echte Herausforderung wäre jetzt ja noch die zweimal
stetige Differenzierbarkeit, damit das ganze auch realistisch
wird…
Moin!
Mathematisch interessant wäre hier weiterhin die Frage, ob die
intuitiv gefundene Kurve die einzige Lösung darstellt. Ich
sehe da im Moment keinen Ansatz, diese Frage zu beantworten.
Bleiben wir zunächst mal dabei, daß die Flugbahn auf einem gedachten Zylinder liegt, dann gibt es natürlich unendlich viele Zylinder, bei denen das möglich ist, also nicht nur eine Kurve, sondern unendlich viele.
Verändern wir jetzt den Standpunkt der Beobachters, der den Kreis sieht in der Weise, daß er sich auf einer (Projektions)Linie mit dem Zylinder und dem zweiten Beobachter bewegt, dann müßte die Flugbahn nicht mehr kreisförmig, sondern elliptisch sein. Außerdem müßten die geraden Anteile der Flugbahn unter einem anderen Winkel stattfinden. Wir hätten also einen schiefen Zylinder mit elliptischer Grundfläche.
Ist dieser Zylinder nur weit genug abgeflacht, die Winkeländerung zwischen der elliptische zur geraden Flugbahn nur klein genug und findet der Vorgang weit genug von den Beobachtern entfernt statt (dabei kann die zurückgelegte Flugstrecke mit zunehmender Entfernung größer werden), so kann man sich unter realen Bedingungen schon sehr nah an die geforderten Sichtweisen (einer sieht Kreis, der andere sie Rechteck) annähern. Und wieder haben wir unendlich viele Möglichkeiten.
Sicher gibt’s noch andere Möglichkeiten. Geometrisch kannst Du es lösen: Zeichne ein Koordinatensystem oder auch zwei. Dreidimesionale Zeichnungen sind ja etwas schwieriger. Die Projektionen, die die beiden Beobachter sehen, zeichnest Du ein und verbindest sie, indem Du von der einen Projektion parallelen unter einem beliebigen Winkel zeichnest und von der anderen unter einem anderen Winkel. Die Schnittpunkte liefern Dir die Flugbahn.
Wenn Du den Beobachter jetzt punktförmig annimmst, dann zeichnest Du von dem Punkt durch die Projektion Deine Linien. Die sind dann natürlich nicht mehr parallel. Jetzt spielt also auch noch der Abstand zum Vorgang eine Rolle.
Nachdem Du alles konstruiert hast, kannst Du Dir überlegen, wie Du sowas berechnen könntest…
Munter bleiben… TRICHTEX