Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wissenschaft Mathematik
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Hallo, ich habe gerade folgende Aufgabe und steh total auf dem Schlauch…

Von 1000 Eiern sind erfahrungsgemäß 2% verunreinigt.
Es werden zufällig 30 Eier ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

I) Keins der 30 Eier ist verunreinigt.
II) Genau eins der 30 Eier ist verunreinigt.
III) Mindestens 5 der 30 Eier sind verunreinigt.

Meine Rechnungen:
Da ja 2% verunreinigt sind, ist die Wahrscheinlichkeit ein verunreinigtes Ei auszuwählen 0.02 und somit die Wahrscheinlichkeit ein nicht verunreinigtes auszuwählen 0.98

I) 0,98^30=0,5455=54,55%
II) 0,98^29+0,02=0,5766=57,66%
Mir persönlich erscheinen diese Ergebnisse etwas niedrig, sodass ich an ihrer Richtigkeit etwas zweifel.

Bei III) steh ich etwas auf dem Schlauch, da ich nicht weiß ob ich nun das ganze ausrechne, indem ich die Wahrscheinlichkeiten von mind.5-max.30 verunreinigten Eiern addiere oder ob es nicht vll einen anderen Weg gibt.

Bitte um Hilfe und danke euch schonmal im Vorraus

MfG Daniel

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Hey Gordinio,

wie du schon richtig erkannt hast, ist es egal ob 2% von 1000 oder 4976, 2% bleiben 2%.

Den ersten Teil hast du richtig gerechnet, beim zweiten hast du was flasch gemacht. Warum sollte auf einmal 0,02 addiert werden? Stell dir das ganz als Baumdiagramm vor, wo es an jedem Punkt zwei Abzweigungen gibt: verureinigt und nicht verunreinigt. An jedem Punkt werden die Wahrscheinlichkeiten multiplizert, also auch wenn ein verunreinigtes dabei ist.

Für keine Verunreinigung von 30 eiern gibt es nur einen Weg, darum ist 0,98^30 richtig. Für genau eine Verunreinigung gibt es jedoch mehrer Wege die im Diagramm zum gefragen Ergebnis führen (es kann z.B. nur das erste oder nur das zweite, etc. Ei verunreinigt sein) Die Menge der möglichen Wege gibt dir der Binmioalkoeffizient. Er sagt dir, wie viele Möglichkeiten es gib aus einer Menge an Objekten eine kleinere Untermenge auszuwählen.

Wir haben 30 Eier und wir wollen wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt 1 Ei daraus auszuwählen. In diesem Fall ist es einfach: 30 (nämlich entweder das erste, oder das zweite, etc.) Bei genau zwei Eiern wirds dafür schon schwieriger. Und genau das ist für den dritten Aufgabenteil wichtig.

Wir können also eine allgemeine Formel aufstellen für die Wahrscheinlichkeit, dass genau k von n Eiern mit der Wahrscheinlichkeit p verunreinigt sind:

P(k) = (1 - p)^{n-k} \cdot p^k \cdot \binom n k

Nun zum dritten Teil: mindestens 5 heißt 5 oder mehr. Hier werden nun die Wahrscheinlichkeiten summiert. Jedoch wäre es zu viel Arbeit von 5 bis 30 zu rechnen, man kann statt dessen das Gegenereignis ausrechnen und von 1 abziehen. Das heißt, die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis 4 ausrechnen, summieren von 1 abziehen, fertig.

Die Wahscheinlichkeit ist für k=0 ab größten und nimmt für größere k ab, da 2% bei einer Stichprobe von 30 nunmal auch nicht sehr viel sind :smile:

LG

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Moin,

wie du schon richtig erkannt hast, ist es egal ob 2% von 1000
oder 4976, 2% bleiben 2%.

ich nehme an, dass die Zahl 1000 eher so gemeint ist, dass eben 30 von 1000 Eiern entnommen werden, also die Stichprobe so klein ist, dass es egal ist, ob die Eier gleichzeitig oder nacheinander entnommen werden. Also ob mit oder ohne Zurücklegen, wäre hier egal.

Gruß
Olaf

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Hi olaf,

ja hab ich auch schon drüber nachgedacht. Aber es ist ja nicht so, dass von 1000 Eiern zwingend genau 20 verunreinigt sind, wäre ja schön wenn man das kontrollieren könnte. In dem Fall müsste man streng genommen natürlich ohne Zurücklegen rechnen. Wir wissen nur, dass statistisch 2% verunreinigt sind, ob von 5 oder 1000 ist völlig belanglos. Ich halte das mehr für Schüler-Verwirrungstaktik :smiley:

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Für die Anschauung
n=30 p=2
http://moodle.lemitec.de/archiv/geo/HypothesenTest2…

Gruß HW

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Danke quazee für die ausführliche Erklärung hab meine Ergebnisse und dementsprechend angepasst und folgendes erhalten:

I) 098^30=0,5455=54,55%
II) P(1)=0,3340=33,40%
III) P(5

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Sieht gut aus! :smiley: