Es ist wieder Wochenende, das bedeutet Mathezeit für mich und wieder
hänge ich an einigen Aufgaben.
Es ist eine Teilmenge K der reellen Zahlen R durch K := {a + b*sqrt{2}
| a,b sind Element der rationalen Zahlen Q}.
Soweit, so gut.
wie kann ich nun zeigen, dass Summe und Produkt von zwei Elementen
von K wieder ein Element von K ergeben?
Ich würde es damit erklären, dass alle K Teilmenge von R sind. Wenn
man Elemente von R multipliziert oder addiert, erhält man wieder ein
Element von R.
Wie kann ich beweisen, dass K ein Körper ist?
Kann man K anordnen?
Beides lässt sich doch auch wieder auf dem Weg zeigen, dass die Elemente von K eine Teilmenge der Elemente von R sind, denn R ist ja bekanntlich ein angeordneter Körper. Oder?
Es ist eine Teilmenge K der reellen Zahlen R durch K := {a +
b*sqrt{2}
| a,b sind Element der rationalen Zahlen Q}.
Soweit, so gut.
wie kann ich nun zeigen, dass Summe und Produkt von zwei
Elementen von K wieder ein Element von K ergeben?
Ich würde es damit erklären, dass alle K Teilmenge von R sind.
Wenn man Elemente von R multipliziert oder addiert, erhält man
wieder ein Element von R.
Das reicht nicht. Das Ergebnis ist zwar Element R, deswegen aber nicht notwendig Element K. Die Menge von zwei Zahlen größer 1 ist auch eine Teilmenge von R, aber Summe und Produkt der Zahlen liegen außerhalb der Menge.
Nehmen wir mal zwei Zahlen aus K:
a+b*sqrt(2)
c+d*sqrt(2)
Ihre Summe ist a+c+(b+d)*sqrt(2), ihr Produkt ac + 2bd + (ad + bc)*sqrt(2)
a+c, b+d, ac, bd, etc. sind alle Element Q. Folglich sind Summe und Produkt Element K.
Wie kann ich beweisen, dass K ein Körper ist?
Wie immer. Wohldefiniertheit haben wir oben schon. Beweise dazu noch Assoziativität, Kommutativität, neutrales und inverses Element bezüglich beider Operationen, Distributivität, fertig.
Kann man K anordnen?
Beides lässt sich doch auch wieder auf dem Weg zeigen, dass
die Elemente von K eine Teilmenge der Elemente von R sind,
denn R ist ja bekanntlich ein angeordneter Körper. Oder?
Körpereigenschaft: Nein. Grund: siehe oben.
Ordnung: Alle Teilkörper von R sind automatisch geordnet, ja. Ob das als Beweis ausreicht… Würde eher wieder von Q ausgehen, das seine Ordnung ebenso wie alle anderen Körpereigenschaften an K vererbt.
Erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Hat mich heute morgen wirklich ein gutes Stück weitergebracht.
Wie kann ich beweisen, dass K ein Körper ist?
Wie immer. Wohldefiniertheit haben wir oben schon. Beweise
dazu noch Assoziativität, Kommutativität, neutrales und
inverses Element bezüglich beider Operationen,
Distributivität, fertig.
Hier habe ich noch eine kurze Frage.
Reicht es dann wirklich, wenn ich z.B. schreibe:
Wie immer. Wohldefiniertheit haben wir oben schon. Beweise
dazu noch Assoziativität, Kommutativität, neutrales und
inverses Element bezüglich beider Operationen,
Distributivität, fertig.
Hier habe ich noch eine kurze Frage.
Reicht es dann wirklich, wenn ich z.B. schreibe:
(a+b*SQRT(2)) = b*SQRT(2)+a
Nein. Hier befindest Du Dich „innerhalb“ eines Elements von K. Was Du dort drin beweist, trifft keine Aussage über K. Beweise, wie oben:
a+b*sqrt2 + c+d*sqrt2 = c+d*sqrt2 + a+b*sqrt2
Hier sieht man eigentlich schon ganz deutlich, daß K die meisten seiner Eigenschaften direkt von Q erbt.
also ebenfalls wieder in K. Dabei ist es wichtig, daß a2=2b2 keine Lsg. für rationale Zahlen außer a=b=0 hat und sowohl a/(a2-2b2) wie auch b/(2b2-a2) rationale Zahlen sind. Da der Träger von K eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, und die Addition und Multiplikation „wie üblich“ definiert ist, braucht man alle universell quantifizierten Bedingungen wie z.B. Distributivität, Assoziativität etc. nicht zu überprüfen. Sie ergeben sich trivialerweise aus der Tatsache das R mit dergleichen Addition und Multiplikation (Eins- und Neutralelement) ein Körper ist.