Nachdem ich bereits Wikipedia, andere Seiten und die übrigen Posts hier bemüht habe, bin ich mir doch nicht ganz sicher, ob es sich bei der folgenden Gleichung auch um einen transzendenten Fall handelt:
ln(x)=1/x -1
Graphisch wird sehr schnell deutlich, dass diese Gleichung eine Lösung hat bei x=1, da ja 1/x die Ableitung ergo Steigung von ln(x) ist. Jedoch konnte ich mit meinem Mathe-LK-Wissen keine befriedigende Form der Auflösung/Umformung nach x finden.
Graphisch wird sehr schnell deutlich, dass diese Gleichung
eine Lösung hat bei x=1, da ja 1/x die Ableitung ergo Steigung
von ln(x) ist. Jedoch konnte ich mit meinem Mathe-LK-Wissen
keine befriedigende Form der Auflösung/Umformung nach x
finden.
Ja aber warum umformen? Grafisch sieht man doch sofort, dass es nur genau eine Lösung gibt. Die linke Seite ist streng monoton wachsend und die rechte streng monoton fallend, da kann es nur einen Schnittpunkt geben. Und den hast Du doch mit x=1 schon gefunden, weitere gibt es nicht. Die Auflösung/Umformung nach x ist also:
x = 1
Genau, und dass trotzdem das richtige Ergebnis x=1 rauskommt, ist Zufall, weil eben mit x=1 zufällig
ex = e ist und sogar
xx = x2 = x, aber eben nur weil x=1 ist!
Hallo!
Einen Mathematiker kann die Vorgehensweise „Grafik anschauen“ oder „Newton anwerfen und schauen was passiert“ sicher nicht zufrieden stellen, zumal wenn man nach Existenz und Eindeutigkeit fragt. Eine Möglichkeit ist, die Gleichung umzuformen:
x=exp(f(x)), mit f(x)=(1-x)/x. Das heisst wir suchen Fixpunkte von exp(f). Nun kann man beispielsweise (siehe Newton) versuchen zu iterieren, das konvergiert aber nur (und dann auch nur in Umgebung) wenn die Ableitung beim Fixpunkt kleiner als eins ist (vom Betrag her). (Im Beispiel ist die Ableitung an Fixpunkten -1/x, also ist das a priori nicht notwendig erfüllt.) Auf die Art und Weise findet man evtl einen Fixpunkt, hat aber immer noch keine globale Aussage. (Wegen der Nichtpolynomialität kann man nicht a priori die Anzahl der Lösungen beschränken.)
In diesem Spezialfall ist natürlich alles wesentlich einfacher, da f und somit auch exp(f) monoton fallend ist, daher gibt es höchstens einen Fixpunkt. Den gibt es aber auch - Beweis entweder durch Einsetzen x=1 oder per Zwischenwertsatz.
wen’s übrigens interessiert, seit kurzem gibt es eine bewiesene Methode, mit der man immer sämtliche Nullstellen komplexer Polynome mit dem Newtonverfahren findet. Diese Methode benutzt in hohem Maße hyperbolische Geometrie und konforme Iterationstheorie:
John Hubbard, Dierk Schleicher and Scott Sutherland: How to Find All Roots of Complex Polynomials With Newton’s Method, Inventiones Mathematicae 146 (2001), 1-33. Featured Review in MathSciNet
Die Gleichung ist transzendent und eine rechnerische Aufloesung gibt es mW nicht. Das bedeutet, dass Du ein exaktes Ergebnis nur durch „Raten“ bekommen kannst. Das hast Du getan und Du kannst Dich durch Rueckeinsetzen davon ueberzeugen, dass Deine Loesung wirklich eine exakte Loesung ist. Andere haben hier schon erklaert, warum es keine weiteren Loesungen geben kann. Also bist Du fertig
wen’s übrigens interessiert, seit kurzem gibt es eine
bewiesene Methode, mit der man immer sämtliche Nullstellen
komplexer Polynome mit dem Newtonverfahren findet.
Seit kurzem ? Das Papier stammt vom 14.10.2000. Veröffentlichung 2001
ÜBrigens hier zu finden: http://www.math.sunysb.edu/~scott/ (wer SUSE Linux 9.3 verwendet kann das gz-Format öffnen und die ps-Datei lesen )
Diese
Methode benutzt in hohem Maße hyperbolische Geometrie und
konforme Iterationstheorie:
