Auftriesgeschwindigkeit eines Körpers

Wissenschaft Physik
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Meine Frage:

Hallo,
ich versuche im Rahmen eines Projektes die Auftriebsgeschwindigkeit eines Körpers in einer Flüssigkeit zu berechnen.

Als Beispiel soll eine 3x3 Meter große mit Luft gefüllte Kugel dienen,die die Anfangsgeschwindigkeit 0 hat.Sie soll in einem senkrechten mit Wasser gefüllten Rohr das eine Höhe von 70m hat bei 0m „losgelassen“ werden.
Habe zwar schon erste Ansätze,bei denen ich mir aber über Richtigkeit auch nicht sicher bin,vor allem was die Reibung/Widerstand angeht,aber die nächsten Schritte fallen mir nicht ein.
Theoretisch müsste man als nächstes die Differentialgleichung integrieren um so auf die Geschwindigkeit zu kommen?Hier hänge ich jedoch an der Aufleitung des Reibungsteils.Und sollte es mir doch gelingen,wie mache ich von da aus weiter?Wäre echt für jede Hilfe/Korrektur/Lösung sehr froh.

Meine ersten Ansätze waren wie folgt:
Aufstellen einer Differentialgleichung:

mx’’=F(Auftrieb)-F(Reibung/Widerstand)-F(Gewicht)

mx’’=(Dichte der Flüssigkeit*verdrängtes Volumen*g)-(-6pi*viskosität wasser*x’*radius)-(m*g)

Stimmt folgende Gleichung?

(mx’=F(Auftrieb)*t-F(Gewicht)*t-(-6pi*viskosität wasser*x(also Weg)*radius)

wie wäre dann die Gleichung für
mx?

Vielen Dank schonmal im Vorraus,
Max

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kleine korrekturen :wink:
also natürlich soll die kugel einen Durchmesser von 3m haben,und in einer zylinderförmigen rohr mit einem durchmesser von ca 4 metern aufsteigen.danke

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Hallo,

willst Du den wirklich die Funktion für die Geschwindigkeit haben, also v(t)? Oder reicht vielleicht nur die stationäre Endgeschwindigkeit, die sich in Deinem Beispiel bestimmt schon nach kurzer Zeit einstellt?
Dann würde alles viel einfacher werden. Die Summe der Kräfte wäre dann 0, und Du kannst einfach nach der Geschwindigkeit umstellen.

Olaf

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Ja die Endgeschwindigkeit würde mir schon erheblich weiterhelfen,lässt sich auch abschätzen wie lange die Kugel brauchen würde um diese zu erreichen?also müsste ich die beschleunigung=0 setzen und kann dann auf die geschwindigkeit,die in der formel der reibung vorkommt?stimmt die gleichung für die reibung überhaupt?es handelt sich ja um die reibung in einer unendlich großen flüssigkeit,oder?wie verhält es sich dann in einem rohr das wie beschrieben einen verhältnismäßig nur wenig kleineren durchmesser hat?

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Hallo,

mx’’=(Dichte der Flüssigkeit*verdrängtes
Volumen*g)-(-6pi*viskosität wasser*x’*radius)-(m*g)

bis auf ein zuvieles Minus beim Reibungsterm stimmt diese Gleichung.

Die Bewegungsgleichung des Vorgangs ist (a und v seien > 0 wenn die Vektoren nach oben gerichtet sind)

m a = \rho V g - m g - 6 \pi \eta r v

„which can be rewritten as…“

\dot{v} + \frac{6 \pi \eta r}{m} v = \Big(\frac{\rho V}{m} - 1\Big) g

(erste Gleichung durch m dividieren, a = \dot{v} , und ein paar Umformungen vornehmen)

Wenn Du Dir jetzt überlegst, dass der konstante v-Vorfaktor 6πηr/m die Dimension 1/Zeit haben muss, und ihn deshalb als 1/τ schreibst (τ ist somit eine natürliche Zeiteinheit dieses Problems), sowie die konstante rechte Seite der Gleichung mit a0 (= die Beschleunigung des Körpers im Moment des Loslassens) abkürzt

\tau := \frac{m}{6 \pi \eta r}
\quad\textnormal{und}\quad
a_0 := \Big(\frac{\rho V}{m} - 1\Big) g

wird die Sache übersichtlich:

\dot{v} + \frac{1}{\tau} v = a_0

Das ist eine lineare, inhomogene, Erste-Ordnung-DG für v, mit konstanten Koeffizienten. Betreffs Lösungsmethode kannst Du also aus dem Vollen schöpfen. Für ein schnelles Erfolgserlebnis empfehle ich die Integration mit Separation der Variablen:

\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{\tau} (v - a_0 \tau)

\Rightarrow\quad
\int_0^{v(t)} \frac{1}{v - a_0 \tau} :dv = -\frac{1}{\tau} \int_0^t dt

\Rightarrow\quad … \quad\Rightarrow\quad
v(t) = a_0 \tau (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

Die Endgeschwindigkeit, die der Körper erreicht, ist also a0τ (was sich übrigens auch schon aus der Bewegungsgleichung herausüberlegen lässt), und bis dahin muss man vom Startzeitpunkt an gerechnet etwa 5τ lange warten (1 – e–5 ≈ 0.993).

Wenn Dich außerdem auch x(t) interessiert, musst Du nur eine Stammfunktion zu v(t) finden, was kein Problem ist.

Bringt Dich das weiter?

Gruß und einen schönen Sonntag
Martin

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Ja die Endgeschwindigkeit würde mir schon erheblich
weiterhelfen,lässt sich auch abschätzen wie lange die Kugel
brauchen würde um diese zu erreichen?

Das bekommst Du mit Martins Ansatz auch raus, das Tau sollte diese Größenordnung haben.

wie
verhält es sich dann in einem rohr das wie beschrieben einen
verhältnismäßig nur wenig kleineren durchmesser hat?

Dann wird die Reibung sicher größer, aber das zu modellieren, ist bestimmt nicht so einfach. Aber dazu gibts bestimmt Experimente.

Olaf

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Guten Tag,
ausgehend von olafs formel habe ich die entsprechenden werte eingesetzt.aber bin ein wenig „schockiert“ von den ergebnissen.kann es sein das die kugel nach 10s eine höhe von 52000"KILOMETERN" erreicht hat?habe mit einer Kugel mit 1,5m radius und 250kg gewicht gerechnet.die viskosität von wasser sind 1mPas,also 0,001kg/ms?a0 wäre dann schon 543m/s²,das ist doch nicht realistisch oder?
danke für die ausführliche herleitung,habe ich etwas noch übersehen ansonsten?muss speziell etwas beachtet werden?der druck des wasser oder ähnliches?
MfG Max

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Hallo,

ausgehend von olafs formel

hmpf :wink:

habe mit einer Kugel mit 1,5m radius und 250kg gewicht gerechnet.die viskosität von wasser
sind 1mPas,also 0,001kg/ms?a0 wäre dann schon 543m/s²,das ist doch nicht realistisch oder?

Nein, aber das kommt daher, dass Deine Kugel auch schon grenzwertig ist. Eine Kugel aus Wasser mit einem Radius von 1.5 Metern wiegt schließlich

m = ρV = 1000 kg/m3 · 4/3 π (1.5 m)3 = 14137 kg

Deine Kugel soll dagegen nur eine Masse von 250 kg haben. Dazu muss ihre Dichte der 250/14137-te Teil von 1000 kg/m3 sein, das sind 17.68 kg/m3. Zum Vergleich: Die Dichte von sehr leichtem Styropor (aufgeschäumtes Polystyrol, EPS) liegt schon um 20 kg/m3.

Wenn Deine Kugel 14137 kg Wasser verdrängt, aber selbst nur 250 kg wiegt, erfährt sie natürlich einen gigantischen Auftrieb. Dein Ergebnis a0 = 543m/s² ist formal korrekt. Wenn Du diese Kugel in Ruhe unter dem Wasser halten können willst, wirst Du dazu eine sehr starke Vorrichtung brauchen, nämlich eine, die grob 14 Tonnen Belastung aushält.

Gruß
Martin

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hi,ok danke nochmal für deine schnelle hilfe.
ja sorry habe das mit dem namen schon bemerkt,aber irgendwie noch keine edit funktion gefunden *schäm*
okay,das mit dem gewicht habe ich natürlich nicht so richtig bedacht,stimmt natürlich das sie so nicht funktionieren kann,danke für den hinweis.
MfG Max