hallo!
ich stehe hier vor einem problem: ich soll aus einem gleichungspaar eine gerade herleiten, bzw zeigen, dass das gleichungspaar eine gerade darstellt.
es lautet
3 * x1 + 2 * x2 + 5 * x3 = 1
-2 * x1 + 4 * x2 + 6 * x3 = 2
wie geht man an sowas ran?
p.s.: das ist keine hausaufgabe, sondern ich bin bloß beim üben für ne klausur drüber gestolpert…
vielen dank für die antworten!
Hallo
ich stehe hier vor einem problem: ich soll aus einem
gleichungspaar eine gerade herleiten, bzw zeigen, dass das
gleichungspaar eine gerade darstellt.es lautet
3 * x1 + 2 * x2 + 5 * x3 = 1
-2 * x1 + 4 * x2 + 6 * x3 = 2wie geht man an sowas ran?
Habe ich Tomaten auf den Augen oder ist es nicht das gleiche wie http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv… ?
Gruss Urs
hi,
3x + 2y + 5z = 1
-2x + 4y + 6z = 2wie geht man an sowas ran?
generell könnte man die 2. gleichung zu
-x + 2y + 3z = 1
vereinfachen.
anyway:
2 varianten:
a) eine unbekannte rausrechnen, z.b. durch gleichsetzungsverfahren. hier geht das z.b. gut mit y
6x + 4y + 10z = 2
-2x + 4y + 6z = 2
y eliminieren durch subtraktion der gleichungen:
8x + 4z = 0
bzw.
2x + z = 0
bzw.
z = -2x
(das sind die ersten 48% der lösung.)
einsetzen; 2. unbekannte freistellen:
3x + 2y + 5z = 1
wird zu (weil 5z = -10x):
3x + 2y - 10x = 1
oder:
2y - 7x = 1
oder:
2y = 1 + 7x
oder:
y = 1/2 + 7/2 x
(das sind die zweiten 48% der lösung; jetzt haben wir schon 96%.)
für die restlichen 4% schreibst du die gleichungen untereinander:
y = 1/2 + 7/2 x
z = -2x
du ergänzt oben die triviale gleichung x = x und schreibst das entstandene gleichungssystem als eine vektorgleichung:
(x, y, z) = (x, 1/2 + 7/2 x, -2x) = (0, 1/2, 0) + x . (1, 7/2, -2)
das ist eine gleichung einer geraden im R3 … die schnittgerade.
du kannst den richtungsvektor noch vereinfachen, wenn du willst:
(x, y, z) = (x, 1/2 + 7/2 x, -2x) = (0, 1/2, 0) + s . (2, 7, -4)
ODER
b) du berechnest aus den beiden normalvektoren der beiden ebenen einen vektor, der auf beide normal steht. das ist dann ein vektor in richtung der schnittgeraden. das verfahren zur berechnung von normalvektoren im raum ist das vektorielle produkt oder „kreuzprodukt“.
(3, 2, 5) x (-2, 4, 6) = (12-20; -(18-(-10)); 12-(-4)) = (-8; -28; 16) = -4 . (2, 7, -4)
du kriegst denselben richtungsvektor wie unter a)
jetzt brauchst du noch einen punkt, an em du diese schnittgerade „festmachen“ kannst.
da kannst du dir eine unbekannte vorgeben; z.b. einfach x = 0
und das entstehende gleichungssystem für y und z lösen:
I: 2y + 5z = 1
II: 4y + 6z = 2
I’: 4y + 10z = 2
bzw. 4z = 0
bzw. z = 0
und 2y = 1
y = 1/2
beide verfahren lassen sich im prinzip mit etwas sachverstand auf jedes dieser probleme anwenden. wenn du gleichungen hast, in denen eine variable gar nicht vorkommt, fallen dir die ersten 48% sogar in den schoß.
hth
m.