Ausflusszeit Trichter

Wissenschaft Physik
1

Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Strömungsmechanikaufgabe (Hydrodynamik). Hier die Aufgabe:
Ich habe einen Trichter (Kegelstumpf) der eine Höhe H von 1 Meter hat. Er ist voll mit Wasser. Der Durchmesser oben ist 0,8m und er hat unten eine Ausflussöffnung die 3 cm² groß ist. Der Druck ist der Außendruck und oben und unten gleich, kann also vernachlässigt werden. Die Ausflussströmung soll als reibungsfrei und quasi-stationär angenommen werden. Gesucht ist die Zeit T, die es dauert bis der Wasserspiegel von H auf H/2 gesunken ist. Als Lösung muss 124,56 s rauskommen, welches ich aber nicht raus kriege. Habe mit der Bernoulligleichung und der Kontinuitätsgleichung gerechnet, aber ich komme da immer auf ein anderes Ergebnis.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen, denke ich habe bei der Integration was falsch gemacht.

2

Moin,

ich aber nicht raus kriege. Habe mit der Bernoulligleichung
und der Kontinuitätsgleichung gerechnet, aber ich komme da
immer auf ein anderes Ergebnis.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen, denke ich habe bei der
Integration was falsch gemacht.

Wenn Du mit uns Deinen tatsächlichen Rechenweg auch noch teilst, ist es für uns wesentlich einfacher zu gucken wo denn der Fehler liegt…

Gruß,
Ingo

3

Ich habe mit der Ausflussformel aus Bernoulli:
Geschwindigkeit am Ausfluss

u_2

\sqrt{2*g*h}

Absinken des Flüssigkeitsspiegels mittels Kontigleichung:

u_2 * A_2

u_1 * A_1

  • \frac {,dh} {,dt}
    * A_1

Daraus ergibt sich:

  • \frac {,dh} {,dt} =
    \frac {A_2} {A_1}
    * \sqrt{2*g*h}

Dies habe ich dann integriert in den Grenzen von H1 = 1m und H2 = 0,5m, aber da stimmt dann was nicht.

4

Hallo,

du hast nicht

Ich habe mit der Ausflussformel aus Bernoulli:

gerechnet, sondern mit dem Gesetz nach Torricelli.

Meiner Ansicht nach kann das Ergebnis von 124,56 Sekunden nicht stimmen.

5

Die Formel bekommt man ja aus der Bernoulligl. für U1 gleich Null, da man ja annimmt, daß der Wasserspiegel sich ja sehr sehr langsam an der Oberfläche ändert. Und der Druck an beiden Stellen gleich ist. Dann kommst Du auf die Gleichung. Ich bin mir nicht sicher, ob ich so integrieren darf, da es ja kein konstanter Querschnitt ist, sondern ein veränderlicher und man nur bis zur Hälfte des Trichters Wasser raus lässt???

6

Hallo,

meines Erachtens muss hier auf der rechten Seite A nicht konstant, sondern als Funktion von h ausgedrückt werden. Dann integrieren, dann stimmt’s.

Gruß
smalbop

7

Ja, das vermute ich ja auch, daß eine Fläche variabel sein muss. Allerindgs wird es doch dann recht komplex und mich wundert es, daß nur der obere Durchmesser angegeben ist und unter die Ausflussfläche. Klar kann ich das ausrechnen und mir die Fläche als Funktion aus der Höhe ermitteln, aber es war eine Klausuraufgabe und man hat ca. 20 min dafür Zeit. Vielleicht gibt es ja noch einen anderen schnelleren und einfacheren Weg?
Ich versuche es aber mal mit dem variablen A2.

8

Ich habe jetzt da mal etwas gerechnet, komme aber nicht auf das Ergebnis, ich denke es muss einen anderen Weg geben, oder?

9

Hallo.

Ich habe einen Trichter (Kegelstumpf) der eine Höhe H von 1
Meter hat. Er ist voll mit Wasser. Der Durchmesser oben ist
0,8m und er hat unten eine Ausflussöffnung die 3 cm² groß ist.

Im folgenden nehme ich alle Deine Formeln, Angaben und Zutaten und schreibe zum Vergleich meine Rechnung dazu auf. Vielleicht haben wir ja zufaellig das gleiche Ergebnis, denn das aus der Musterloesung bekomme ich auch nicht heraus.

Allerdings sage ich gleich dazu, dass ich von Stroemungsmechanik kaum Ahnung habe. :smile:

Nimmt man als oberen Querschnitt A_1 und als unteren Querschnitt A_0 und fuer die Gesamthoehe H, so gilt fuer den Querschnitt als Funktion der Hoehe

A(h) = A_0 + \frac{h}{H}(A_1-A_0).

In der Zeit dt fliesst das Volumen dV = v*A_0*dt aus dem Trichter.
Dadurch aendert sich dessen Fuellstand um dh mit

dV = A(h) , dh = -\left[A_0 + \frac{h}{H}(A_1-A_0)\right],dh.

Die Gleichheit der beiden Volumina (Kontinuitaetsgleichung) schreibt sich dann als

v\cdot A_0 , dt = -\left[A_0 + \frac{h}{H}(A_1-A_0)\right],dh.

Nimmt man Abhaengigkeit der Geschwindigkeit als v(h) = \sqrt{2gh}, so schreibt sich das als

A_0 , \sqrt{2gh} , dt = -\left[A_0 + \frac{h}{H}(A_1-A_0)\right],dh

oder nach Integration

\int_{0}^{T} A_0 , \sqrt{2g} , dt
= - \int_{H}^{H/2} \frac{dh}{\sqrt{h}} \left[A_0 + \frac{h}{H}(A_1-A_0)\right].

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann lautet die Loesung der Integration

A_0\sqrt{2g}T = \sqrt{H} , (2A_0+A_1) , \frac{2-\sqrt{2}}{3}

und nach Einsetzen aller Werte

T \approx 74,\text{s}.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen, denke ich habe bei der
Integration was falsch gemacht.

Jetzt haben wir immerhin schon zwei Versionen. :smile:

The Nameless

10

Hallo,

ich nahm den Trichter – in erster Näherung – als spitz zulaufend an und habe von der Geometrie her den Durchmesser der Auslaßöffnung von d = 0,0194 m vernachlässigt.
Dann ergibt sich ein Volumen von 0,1466 m3 das von der anfänglichen Höhe von 1 m auf 0,5 m ausläuft.
Die anfängliche Fließgeschwindigkeit errechnet sich zu va = 4,43 m/s, die am Ende ve = 3,13 m/s.
Ich habe nun mit der mittleren Geschwindigkeit vm = (va + ve)/2 weitergerechnet: vm = 3,78 m/s.
Die 0,1466 m3 fließen dann mit der mittleren Geschwindigkeit vm in ca. 129 s durch die Öffnung mit 3 * 10-4 m2 aus.
Das stimmt ganz gut mit dem Soll-Ergebnis von 124,56 s überein.