Ausklammern bei Funktionen

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Ich muss Funktionen untersuchen, dafür brauche ich die erste Ableitung, aber ich kann diese Aufgaben einfach nicht richtig ausklammern.

  1. 1/6(x+1)^2(x-2)
  2. 0,1(x^3+1)^2
  3. (x-1)(x+2)^2
  4. 1/10(x-2)^2(x+3)^2

Danke.

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Hallo,

Hallo zur"uck.

Ich muss Funktionen untersuchen, dafür brauche ich die erste
Ableitung, aber ich kann diese Aufgaben einfach nicht richtig
ausklammern.

Hmm, was meinst Du denn mit ausklammern? Du kannst die Terme doch so, wie sie
da stehen, ableiten.

  1. 1/6(x+1)^2(x-2)
  2. 0,1(x^3+1)^2
  3. (x-1)(x+2)^2
  4. 1/10(x-2)^2(x+3)^2

Nimm etwa die erste Funktion. Du schreibst (mit ein paar zus"atzlichen
Klammern, die den Ausdruck "ubersichtlicher machen)

(1/6) * [(x+1)^2] * (x-2)

Das (1/6) ist ein konstanter Vorfaktor. Der bleibt stehen, wie er ist. Das
Produkt
[(x+1)^2] * (x-2)
leitest Du nach der Produktregel ab (die deswegen auch diesen Namen tr"agt).
Also

( [(x+1)^2] * (x-2) )’ = [(x+1)^2]’ * (x-2) + [(x+1)^2] * (x-2)’

Diese Ableitungen sind nicht schwer. Du rechnest

(x-2)’ = 1

und

[(x+1)^2]’ = 2 * (x+1)

Damit ergibt sich dann

[(1/6) * [(x+1)^2] * (x-2) ]’
= (1/6) [2*(x+1)*(x-2) + ((x+1)^2)]

Das l"ast sich noch vereinfachen zu

(1/6) * (x+1) * (3x-3) = (1/2) (x^2-1)

Die anderen Aufgaben gehen genauso.
Mausi :smile:

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Das
Produkt
[(x+1)^2] * (x-2)
leitest Du nach der Produktregel ab (die deswegen auch diesen
Namen tr"agt).
Also

( [(x+1)^2] * (x-2) )’ = [(x+1)^2]’ * (x-2) + [(x+1)^2] *
(x-2)’

Wie Produktregel man kann doch nicht einfach aus ( [(x+1)^2] * (x-2) )’ = [(x+1)^2)* (x-2) + [(x+1)^2] *(x-2) machen.

Diese Ableitungen sind nicht schwer. Du rechnest

(x-2)’ = 1

und

[(x+1)^2]’ = 2 * (x+1)

Damit ergibt sich dann

[(1/6) * [(x+1)^2] * (x-2) ]’
= (1/6) [2*(x+1)*(x-2) + ((x+1)^2)]

wenn(x-2)’ = 1 warum steht dann (1/6) [2*(x+1)*(x-2) + ((x+1)^2)] da und nicht (1/6) [2*(x+1) + ((x+1)^2)]

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also nochmal etwas anders:
f(x)=g(x)*h(x)
f’(x)=g’(x)*h(x)+g(x)*h’(x)
(so steht es im Tafelwerk)
Bei deiner Funktion f(x) würde das bedeuten:
g(x)=(x+1)2
h(x)=(x-2)
(1/6 ist ein konstanter faktor, den fügen wir erst zum Schluss wieder hinzu)
demanch ist dann:
g’(x)=2*(x+1)*1=2*(x+1)=2x+2
h’(x)=1
daraus folgt dann:
f’(x)=1/6*((2x+2)*(x-2)+((x+1)2*1))
etwas gekürzt:
f’(x)=1/6*(2x2-2x-4+x2+2x+1)=1/6*(3x2-3)= ½x2-½

Wenn dir das zu schwierig erscheint, kannst du natürlich auch erst alles ausklammern:
f(x)=1/6*(x+1)2*(x-2)
f(x)=1/6*(x2+2x+1)*(x-2) |(binomische Formel)
f(x)=1/6*(x3-2x2+2x2-4x+x-2)
f(x)=1/6*(x3-3x-2)
f(x)=1/6*x3-½x-1/3
f’(x)=½x2-½

MOD: Tippfehler in Formel behoben

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danke