Hallo Sylvia,
wenn die Knollen der Topi nicht matschig waren, treiben sie wieder aus. Selbst, wenn du sie geviertelt hättest, sie treiben aus.
Aber das dauert wohl noch ca. 1-2 Monate, je nachdem, wie warm es ist.
Wenn du die Topi nur an einer Stelle im Garten haben möchtest, dann sorg für eine Wurzelsperre von ca 50 cm und achte darauf, keine Topinamburknollen oder Reste davon in den Kompost zu werfen.
Ich hatte selbige im ganzen Garten verteilt, sie sind überall wieder ausgetrieben. Selbst im Kompost sind die lustig weiter gewachsen.
Die sind ausser durch sorgfältiges Ausbuddeln nicht auszurotten.
Ansonsten: Die Knollen sind nicht wirklich lagerfähig, sie werden schnell matschig, sobald sie aus der Erde raus sind. Man sollte also nur soviel Knollen ausbuddeln, wie man für eine Mahlzeit braucht.
Man kann sie auch noch im Winter, wenn der Boden frostfrei ist ausbuddeln und essen. Die sind absolut frostresistent.
Hier findest du noch weitere Infos und Rezepte.
http://www.hobbythek.de/dyn/10508.phtml
Wenn die Topinambur verblüht sind werden die Stengel trocken und ähnlich wie Maisstengel, nur fester, dicker und größer. Dann stehst du vor dem Problem, wie du sie entsorgen kannst.
Ich mache es so: mit einer guten Astschere über dem Boden abschneiden und dann in 10cm lange Stücke schneiden. Dann den Rasen mähen und schichtweise Topischnitt und Rasenschnitt in den Kompost. Wenn du dann noch Steinmehl auf die einzelnen Schichten gibst, bekommt dein Kompost auch noch die nötigen Mineralien. So hast du, wenn alles wieder zu Erde verottet ist auch noch einen guten Dünger . Im übrigen kannst du alle Pflanzenreste auch Gemüse/Kartoffeln/Obstschalen auf den Kompost geben( Keine Bananen, Orangen, Zitronen, die verrotten zwar auch, sind aber gespritzt) . Die Erde, die daraus entsteht kannst du auf deine Beete streuen und schon sind sie gedüngt 
Die besten Erfahrungen habe ich mit einem geschlossenen Kunstoffkompost in brauner Farbe gemacht. Schwarze werden zu heiß, in grünen verottet es zu langsam und stinkt dann.
Wenn es sehr heiß ist sollte man auch mal dem Kompost eine Gießkanne Wasser gönnen 
Ich habe einige Pflänzchen angesetzt: Sonnenblumen,
Ringelblumen, Studentenblumen, Tomaten - ab wann kann ich sie
auspflanzen?
Halte sie recht kühl(damit sie langsam wachsen und kräftig werden) und pflanze sie dann am besten Anfang Mai aus, vorher könnte es noch frieren. Am besten, wenn es geregnet hat oder gerade regnet. Tomaten benötigen Schutz vor Regen, entweder im Gewächshaus oder eine Folie drüber spannen, damit die Blätter nicht nass werden. Wasser mögen sie nur am Fuß, aber auch keine Staunässe. Gießen nicht vergessen
Für nächstes Jahr: Studentenblumen, Sonnenblumen kannst du direkt ins Freiland säen.
Ringelblumen kannst du von Frühjahr bis Sommer ins Freiland säen. Wenn du erst welche hast, brauchst du dich um die Aussaat nicht mehr kümmern. Sie säen sich selbsttändig aus. Allerdings sind sie dann wahrscheinlich nicht mehr da, wo du sie haben möchtest. Aber dann kannst du sie auch noch (vor der Blütenbildung) umpflanzen oder für deinen Kompost gebrauchen. Wenn du nicht willst, dass die Ringelblumen sich wie wild vermehren, dann mußt du die Blüten vor der Samenbildung abknipsen.
Viel Spass mit Deinem Garten wünscht
Helga