Aussagen über LGS

Wissenschaft Mathematik
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Hallo!
Zur Vorbereitung auf eine anstehende Matheklausur habe ich mir eine Aufgabe rausgesucht, deren Lösung mir allerdings Probleme bereitet…
Die Aufgabe besteht darin, Aussagen über LGS mit richtig oder falsch zu beantworten und eine nachvollziehbare Begründung zu liefern.

Hier die vier Aussagen:

  1. Ein LGS mit gleich vielen Gleichungen als Variablen har eine eindeutige Lösung.
  2. Ein LGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist nicht lösbar
  3. Wenn ein LGS eine eindeutige Lösung hat, dann hat das aus ihm durch Weglassen einer Gleichung entstehende System unendlich viele Lösungen.
  4. Wenn ein LGS eine eindeutige Lösung hat, dann hat ein durch Hinzufügen einer weiteren Gleichung daraus entstehendes System keine Lösung.

In der Lösung steht: Alle Aufgaben sind falsch!

meine Ansätze waren:

  1. richtig (abgesehen von Gleichungen der Form 0=0)
  2. falsch, ein sogenanntes überbemitteltes LGS kann auch Lösungen haben, wie z.B. die Gleichungen:

I x1 - x2 = -2
II 2x1 + 2x2 = 4
III 3x1 + 3x2 = 6
_________________
Lösung: x1 = 2; x2 = 0 (allerdings ist diese Lösung davon abhängig, welche Gleichungen man ins Verhältnis setzt)

  1. richtig, denn ein unterbestimmtes LGS verfügt (z.B. mithilfe des Paramters t) über unendlich viele Lösungen
  2. falsch, denn wenn man die Gleichung 0 = 0 anhängt, so fällt diese weg und das LGS besitzt weiterhin eine Lösung

Das wars von meiner Seite,
danke im voraus!

lg Eliteforce

2

Hi,

alles falsch ist korrekt.

  1. das ist natürlich der wahrscheinliche Normalfall, trotzdem können Gleichungen mit identischen linken und verschiedenen rechten Seiten vorkommen, womit es keine Lösung gibt, oder alle Gleichungen sind identisch als anderes Extrem.

  2. Man nehme ein lösbares quadratisches System und schreibe alle Gleichungen doppelt oder dreifach auf.

  3. Wäre nur korrekt, wenn das System auch noch quadratisch wäre. Ansonsten kann das Ausgangssystem doppelte Gleichungen haben, von denen eine weggelassen werden kann, ohne die Lösung zu ändern.

  4. Man kann wieder eine schon vorhandene Gleichung doppelt hinzufügen.

Um alle diese Varianten zu beherrschen, ist es also nicht nur wichtig, die Form zu kennen, in dem das Gleichungssystems aufgeschrieben ist, sondern auch seine geometrischen Invarianten, hier vornehmlich der Rang der Systemmatrix=Anzahl der gebundenen Variablen=Dimension der Bildmenge der Systemmmatrix.

Gruß Lutz

3

hey, danke für die schnelle antwort, denke das müsste ich verstanden haben, nur ein paar kleine sachen noch…

1)wie muss ich mir ein quadratisches System vorstellen?
2)könntest du deine antwort zu aussage 3 anhand eines beispiels verdeutlichen?

lg Eliteforce

4

Hallo,

ich denke, mit quadratischen Gleichungssystemen meint er LGS mit genau so vielen Gleichungen wie Unbekannten.
zu 3. Beispielsweise folgendes Gleichungssystem:

x + 0y = 3
0x + y = 4
0x + y = 4

ist eindeutig bestimmt durch (x,y) = (3,4). Lässt man die letzte Gleichung weg, ändert sich an der Lösung nichts.
Gleiches würde gelten, wenn man mehrere linear abhängige Gleichungen hat. Also zum Beispiel:

 x + 0y = 3
0x + y = 4
 x + y = 7

Nico

5

Ugh.

  1. Ein LGS mit gleich vielen Gleichungen als Variablen har
    eine eindeutige Lösung.

Nø:
I. a+b=2
II. a+b=4

  1. Ein LGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist nicht lösbar

Nø:
I. a+b=2
II. 2a+2b=4
III. a=b

  1. Wenn ein LGS eine eindeutige Lösung hat, dann hat das aus
    ihm durch Weglassen einer Gleichung entstehende System
    unendlich viele Lösungen.

Nø. Siehe vor, wenn du III weglässest, bleibt die Lösungsmenge gleich. Und damit ist die vierte Behauptung auch gleich widerlegt, weil du durch Zufügen der Gleichung III die Lösungsmenge nicht veränderst.

Aga,
CBB