Hi,
ich hab folgendes problem
Für sechs positive ganze zahlen gilt mindestens eine der
folgenden aussagen:
(1)es lassen sich drei dieser zahlen auswählen die paarweise
teilerfremd sind
(2)es lassen sich drei dieser zahlen auswählen die einen
gemeinsamen teiler haben der größer als 1 ist.
Nun weiß ich nicht was das paarweise teilerfremd bedeuten soll
und gibt es eine möglichkeit diese drei zahlen so allgemein zu
formulieren das man nicht alle zahlenkombis durchprobieren
muss?
Hallo Hilmar,
zwei Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn es keine natürliche Zahl n>1 gibt, so daß a ein Vielfaches von n und b auch ein Vielfaches von n ist.
Beispiel: 12 und 13 sind teilerfremd, 6 und 3 nicht (denn 6 = 2*3, 3 = 1*3).
Bemerkung: Die Reihenfolge der Zahlen spielt dabei offenbar keine Rolle, d.h. a und b sind genau dann teilerfremd, wenn b und a teilerfremd sind.
Des weiteren bedeutet für eine Menge Zahlen „paarweise teilerfremd“, daß beliebige Kombination von zwei dieser 6 Zahlen teilerfremd sind. Wenn es also heißt, „3 der 6 Zahlen sind paarweise teilerfremd“, dann gibt es drei Zahlen a_1, a_2, a_3 aus den sechs Zahlen, die jeweils paarweise teilerfremd sind, oder anders ausgedrückt:
- a_1 und a_2 sind teilerfremd,
- a_2 und a_3 sind teilerfremd,
- a_3 und a_1 sind teilerfremd
Jetzt zur Verbindung von „teilerfremd“ und „größter gemeinsamer Teiler“: Zwei Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn ggT(a,b) = 1. (Beweis durch Widerspruch)
Eine allgemeine Darstellung für drei teilerfremde Zahlen gibt es wohl nicht; zu dem Thema kannst du aber mal unter dem Stichwort „elementare Teilbarkeitslehre“ in einem Algebra-Buch (oder elementare Zahlentheorie) nachsehen.
Teil (b) deiner Aussage oben heißt, daß du drei Zahlen auswählen kannst, die gemeinsam einen ggT ungleich 1 haben.
Die Menge der Zahlen ist übrigens mit den beiden Forderungen oben nicht vollständig bestimmt; vielmehr würden dazu auch 5 Zahlen ausreichen.
Wenn du mehr Details brauchst, frag’ nochmal nach!!
HTH,
Chris