Aussagenlogik - Unergründlich

kabbez · 14. März 2009 um 19:49

Hallo liebe Wissende!

Am Montag steht meine erste Matheklausur an der BA an und ich bin leicht nervös. Dies ist vor allem darauf zurückzuführen, dass ich mit der Aussagenlogik nicht klarkomme.
Hat hier jemand Tips, wie ich Gegenteile zuverlässig bilde?

Zwei Beispiele, die ich zum einen nicht verstehe und zum anderen auf deren Lösung ich nie gekommen wäre:

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (DAS verstehe ich )
Negation: Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein. (WTF?)
Alle Studenten können schwimmen. (i.O.)
Mindestens ein Student kann nicht schwimmen. (Wär ich von alleine nicht drauf gekommen)

Ich wäre also um Erklärungen und nach Möglichkeit Hintergrundwissen und Tips sehr dankbar!

In Vorfreude auf die Antworten…

Lg kabbez

PaleMan · 14. März 2009 um 20:52

Hallo,
ich versuch mal logisch an die Sacher heranzugehen- bin zwar kein Mathematiker- aber eigentlich ist Mathe ja größtenteils „nur“ Logik!

Alle Studenten können schwimmen. (i.O.)
Mindestens ein Student kann nicht schwimmen. (Wär ich von
alleine nicht drauf gekommen)

Zu deinem ersten Beispiel fällt mir so spontan auch keine passende Erklärung ein, kann man sich bestimmt aber auch so erklären wie in dem zweiten Bsp.:

Evtl. ist es so gemeint, dass man zu beweisen versucht das wirklich alle Studenten schwimmen können und dieses am Beispiel eines Nichtschwimmers.
Also, wenn man mindestens einen Nichtschwimmer hat, kann man anhand diesem Schwimmer festmachen, da man WEIß, dieser kann nicht schwimmen kann.

Es liegt an der Beweiskraft!

lg

kabbez · 14. März 2009 um 21:00

Hey!
Danke für die Antwort…
Wie schon erwähnt - das zweite Beispiel war wenigstens im Nachhinein einleuchtend. Aber beim ersten erscheint mir die „Lösung“ ziemlich suspekt… Ich frage mich eigentlich ob die überhaupt richtig ist. Hierfür keine Garantie - in unseren Mathevorlesungen geht’s zu wie… joah =)

Vllt. kommt ja noch ne Antwort zum ersten Bsp…

Lg kabbez

drambeldier · 14. März 2009 um 21:21

Moin, kabber,

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (DAS verstehe ich
)
Negation: Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein.
(WTF?)

nicht WTF, sondern schlicht Unfug. Man kann nicht die Bedingung stehenlassen und die Folgerung umdrehen. Meine Vorlesung ist 35 Jahre her, deshalb will ich lieber nichts Falsches erzählen - frag Tante Gurgl mal nach Implikation.

Was ist denn hier mit Gegenteil gemeint? Negation ist nicht Gegenteil!

Gruß Ralf

M_L_ · 14. März 2009 um 22:30

Auch hallo

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (DAS verstehe ich
)
Negation: Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein.
(WTF?)

Das wird mit einem folgt-Pfeil -> modelliert
Aber man weiss nichts über den weiteren Kontext der Situation (*)

Alle Studenten können schwimmen. (i.O.)
Mindestens ein Student kann nicht schwimmen.

Sogenannte Allaussage mit umgedrehtem A: wenn nur ein Student nicht schwimmen kann, stimmt die globale Aussage nicht mehr.
(*)Aber ein Teil der Aussagen findet sich hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik

mfg M.L.

kabbez · 14. März 2009 um 22:46

Hallo Ralf!
Erstmal danke für die Antwort… Könnte es also sein, dass im Eifer des Gefechtes ein „nicht“ untergegangen ist und die eigentliche Lösung:
„Wenn es NICHT regnet, kann die Straße NICHT nass sein“
ist…?

Wenn das dem Sinn einer „Implikation“ näher kommt, hast du mich wirklich nen Schritt weitergebracht… Die neue Aussage stimmt zwar immer noch nicht (ist „falsch“), da ich die Straße auch mit Leitungswasser besprenkeln kann, aber sie ist „logischer“, als mein vorheriger Ansatz.
Ob es sich nun um Gegenteile oder Verneinungen handeln wird - weiß ich nicht.
Kannst du mir denn den Unterschied „im mathematischen Sinne“ plausibel erklären?

Lg kabbez

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Der_Ren_15678c · 15. März 2009 um 09:32

Hallo,

Hat hier jemand Tips, wie ich Gegenteile zuverlässig bilde?

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (DAS verstehe ich
)
Negation: Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein.
(WTF?)

Ich kann mir nur vorstellen, daß es ein Beispiel für einen nicht bijektive (diese wäre surjektiv) Aussage sein soll, weil die Umkehrung - „wenn die Straße naß ist, regnet es“ ja nicht unbedingt sein muß. Es gibt ja auch viele andere Möglichkeiten, warum die Straße naß sein könnte.
BTW: was ist BA?

Cu Rene

M_L_ · 15. März 2009 um 09:50

BTW: was ist BA?

Vermutlich Berufsakademie

mfg M.L.

Martin · 15. März 2009 um 12:04

Hallo,

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (DAS verstehe ich

Negation: Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein.

wo ist das Problem? Das ist völlig richtig. „Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ ist eine wahre Aussage. Die Negation davon muss dann eine falsche Aussage sein, was ja auch zutrifft.

„Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ kannst Du auch formulieren als „Wenn es regnet, muss die Straße nass sein.“ Hier soll geprüft werden, ob der Testkandidat verstanden hat, dass „muss“ beim Negieren zu „kann nicht“ werden muss (und keinesfalls etwa zu „muss nicht“ – das wäre logisch unkorrekt!).

Würde die Ausgangsaussage lauten „Wenn es regnet, ist die Straße trocken.“ wäre es umgekehrt: Da dies eine falsche Aussage ist, muss die Negation „Wenn es regnet, kann die Straße nicht trocken sein“ wahr sein, und das ist sie ja auch.

Alle Studenten können schwimmen. (i.O.)
Mindestens ein Student kann nicht schwimmen.

Damit soll geprüft werden, ob der Testkandidat die korrekte Negation von „alle können“ bilden kann, nämlich „mindestens einer kann nicht“ („nicht alle können“ wäre übrigens ebenfalls korrekt), aber keinesfalls „alle können nicht“ oder „nicht alle können nicht“ – das wäre nicht korrekt.

Eine wahre Aussage wird in der Negation grundsätzlich zu einer falschen Aussage, und vice versa. Das ist das ganze Geheimnis

Gruß und viel Erfolg bei dem Test
Martin

Anonym_e52f27a38f6b · 16. März 2009 um 15:06

Hallo Martin!

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (DAS verstehe ich

Negation: Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein.

wo ist das Problem? Das ist völlig richtig.

Ist es schon einmal nicht. Dazu unten mehr.

„Wenn es regnet,
ist die Straße nass.“ ist eine wahre Aussage. Die Negation
davon muss dann eine falsche Aussage sein, was ja auch
zutrifft.

Ja, aber das ist doch nur eine notwendige Bedingung (mal davon abgesehen, dass ich „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ für ein nicht besonders gelungenes Beispiel halte - vielleicht ist ja die Straße von Markisen geschützt). Ich könnte auch formulieren: „Wenn es regnet, muss die Straße nicht nass sein“, das wäre dann (wenn ich die ursprüngliche Aussage als wahr annähme) auch eine falsche Aussage, aber eine ganz andere als die von Dir als richtig bezeichnete.

Soviel zur Polemik, jetzt zum konstruktiven Teil: Warum ist die vorgeschlagene Aussage nicht die Negation? Sei die Aussage „Es regnet“ = A, „die Straße ist nass“ = B. Dann heißt „Wenn es regnet, wird die Straße nass“: A \Rightarrow B, während „Wenn es regnet, kann die Straße nicht nass sein“ heißt A\Rightarrow\neg B.
Nun machen wir eine Wahrheitswerttabelle:

A B A=\>B ¬(A=\>B) A=\>(¬B)
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0

Der Vorschlag stimmt also nicht.

Nun dazu, wie wir zu einem richtigen Ergebnis kommen:

Zuerst mathematisch: Dazu kann man die Aussage A\Rightarrow B umformulieren zu \neg A\vee B. Wenn man das jetzt negiert, kommt heraus:

\neg(\neg A\vee B)
\sim (\neg(\neg A)) \wedge (\neg B)
\sim A \wedge (\neg B),

also „es regnet, und die Straße wird (trotzdem) nicht nass“.

Nun einmal im Sprachgebrauch. Dazu stelle ich mir vor, jemand sagt zu mir: „Wenn es regnet, wird die Straße nass“. Ich will dagegen argumentieren (wie ich es ja auch oben getan hab): „Das stimmt so nicht, die Straße könnte ja überdacht sein …“ wenn ich jetzt auf die originale Aussage zurückkomme, ergänze ich: „… und dann kann es regnen (soviel es will), und die Straße wird (trotzdem) nicht nass“.
Ich habe durch rhetorisches Geschick die korrekte Negation gefunden, und das wurde wahrscheinlich von den Studenten erwartet.

Genau so wäre es beim zweiten Beispiel: „Alle Studenten können schwimmen.“ - „Nein, das stimmt nicht, ich kenn da einen, den Adam, der kann gar nicht schwimmen.“ Also: Es gibt einen Studenten, der nicht schwimmen kann.

Liebe Grüße
Immo

Martin · 17. März 2009 um 16:26

Hallo Immo,

Wenn es regnet, ist die Straße nass.

Ja, aber das ist doch nur eine notwendige Bedingung

hoppla… ich dachte immer, die Bedingung Regen soll in diesen Aufgaben gerade als hinreichend verstanden werden?! Du behandelst den Regen weiter unten doch auch als hinreichenden Grund, indem Du A ⇒ B (Regen ⇒ Straßennässe) schreibst.

Wenn A ⇒ B gilt, nennt man A einen hinreichenden Grund für B.
Gilt dagegen nur ¬A ⇒ ¬B, nennt man A einen notwendigen Grund für B.

(mal davon abgesehen, dass ich „Wenn es regnet, ist die Straße nass“
für ein nicht besonders gelungenes Beispiel halte - vielleicht ist
ja die Straße von Markisen geschützt).

(lach) Das Beispiel ist didaktisch kriminell: Soll es jetzt so gemeint sein, dass die Möglichkeit (Markisen, Tunnel…) einer trotz Regen trockenbleibenden Straße bestehen soll, oder soll das ausgeschlossen sein? Möchte nicht wissen, wieviele arme Schüler sich das bis heute fragen. Dabei braucht man sich doch nur in der Mathematik selbst umsehen, um jede Menge nette Implikationen finden zu können, die dann an der Hinreichendheit auch keinen Zweifel lassen: „Wenn eine Zahl durch 33 teilbar ist, dann ist sie auch durch 11 teilbar“ (aber nicht jede Zahl, die durch 11 teilbar ist, ist auch durch 33 teilbar); „Ein Quadrat ist eine symmetrische Figur“ (aber nicht jede symmetrische Figur ist ein Quadrat); „Wenn die Grenzen eines Integrals identisch sind, dann ist der Wert des Integrals Null“ (aber nicht jedes Integral mit dem Wert Null…).

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (D:Ich könnte auch

formulieren: „Wenn es regnet, muss die Straße nicht nass
sein“, das wäre dann (wenn ich die ursprüngliche Aussage als
wahr annähme) auch eine falsche Aussage, aber eine ganz andere
als die von Dir als richtig bezeichnete.

Ich hab ja auch nicht behauptet, dass jede falsche Aussage eine korrekte Negation darstellt.

…jetzt zum konstruktiven Teil:

Zugegeben: Wenn man das so in aller formalen Strenge über die Wahrheitstafel betrachtet, kann – besser gesagt muss – man bezüglich der ersten Aussage tatsächlich so argumentieren. Trotzdem: Ob das in der Aufgabe verlangt ist? Vielleicht kann der Fragesteller was dazu berichten – wäre interessant.

Nicht einleuchten will mir jedoch, was Dir im zweiten Beispiel an der Negation „Mindestens ein Student kann nicht schwimmen“ missfällt. Das ist doch zu „es gibt einen Studenten, der nicht schwimmen kann“ (der letzte Satz Deines Postings) äquivalent –sofern man die Existenz wenigstens eines Studenten voraussetzen darf (hier beginnt wieder die unselige Grauzone, die wohl allen aus dem Alltagsgeschehen geschöpften Beispiele anhaftet…).

Danke für Dein Feedback.

Besten Gruß zurück
Martin

Anonym_e52f27a38f6b · 18. März 2009 um 15:11

Hallo Martin!

Wenn es regnet, ist die Straße nass.

Ja, aber das ist doch nur eine notwendige Bedingung

hoppla… ich dachte immer, die Bedingung Regen soll in diesen
Aufgaben gerade als hinreichend verstanden werden?!

Sicherlich. So kann man aneinander vorbeireden: Darauf hab ich mich mit dem „notwendig / hinreichens“ ja gar nicht bezogen, sonder hierauf:

Wenn es regnet, ist die Straße nass. (D:Ich könnte auch

formulieren: „Wenn es regnet, muss die Straße nicht nass
sein“, das wäre dann (wenn ich die ursprüngliche Aussage als
wahr annähme) auch eine falsche Aussage, aber eine ganz andere
als die von Dir als richtig bezeichnete.

Ich hab ja auch nicht behauptet, dass jede falsche
Aussage eine korrekte Negation darstellt.

Da hatte ich nämlich Deine Aussage so verstanden: „Wir haben eine wahre Aussage und eine ähnliche, die falsch ist. Also ist die falsche Aussage die Negation der wahren Aussage.“

Um eventuellen weiteren Missverständnissen vorzubeugen: Ich sehe nun, dass Du das so nicht gemeint hast, und es hätte mich auch verwundert. Allerdings konnte man es so verstehen, und die angeführte falsche Aussage war ja tatsächlich nicht die korrekte Negation der gegebenen wahren Aussage.

Zugegeben: Wenn man das so in aller formalen Strenge über die
Wahrheitstafel betrachtet, kann – besser gesagt muss – man
bezüglich der ersten Aussage tatsächlich so argumentieren.

Die Tabelle hatte ich nur als Argument dafür verwendet, dass die Aufgabe eben bislang falsch gelöst wurde.

Trotzdem: Ob das in der Aufgabe verlangt ist?

Das glaube ich eher nicht, sonst hätte man mathematische Aussagen bemüht. Hier sollte sicherlich die sprachlich-logische Argumentation geschult werden, die ich ja ebenfalls anführte.

Nicht einleuchten will mir jedoch, was Dir im zweiten Beispiel
an der Negation „Mindestens ein Student kann nicht schwimmen“
missfällt.

Gar nichts. Ich wollte sie nur noch einmal ausführlich herleiten, da der UP meinte, er wäre selbst nicht darauf gekommen.

Mein Anliegen war, ihm das Handwerkszeug dazu zu vermitteln, und meine Hoffnung, dass er auch die nicht direkt an ihn gerichteten Antworten liest, sonst hätte ich mich partiell wiederholen müssen oder einen von Euch beiden querverweisen.

Liebe Grüße
Immo