Hallo,
^^ Ein Netzteil für normale Rechner mit einer Festplatte und
einem DVD-Player sollte mindestens 300 Watt leisten. Ist mehr
Hardware eingebaut, ist es ratsam, ein stärkeres Netzteil mit
380 Watt oder mehr zu verwenden.
Aber erstmal wunder ich mich über den Tip. Der PC lief 4 Jahre
lang wunderbar mit dem 200 Watt Netzteil. Ich sehe eigentlich
keinen Grund jetzt beim neuen Netzteil eines mit den von dir
empfohlenen 380 Watt zu nehmen.
Ja, ist in dem Fall auch Quatsch, das musst du auch nicht. Es handelt sich ja nicht um ein Standard-Netzteil (selbst da wären 380 Watt bei einem Markennetzteil sehr groß dimensioniert). Netzteile für Barebones haben aber eine geringere Gesamtleistung als Standard-Netzteile (Full ATX), da sie einerseits mit einer geringeren Baugröße auskommen müssen und andererseits auch nicht so viele Geräte auf der 12 Volt - Leitung versorgen müssen.
Auf deinem alten Netzteil ist ein Aufdruck, darauf stehen die Ampere-Zahlen der einzelnen Leitungen und eine ‚Combined Power‘-Angabe. Diese Werte sollte das neue Netzteil nicht unterschreiten, dann ist alles okay.
Das würde ja fast doppelt
soviel Strom verbrauchen, oder irre ich mich da?
Das wiederum nicht, wieviel Strom ein Netzteil selbst verbraucht, hängt von seinem Wirkungsgrad bei der von deinem Rechner benötigten Leistung ab und damit in erster Linie von der Netzteilqualität. Die aufgedruckte Maximalleistung eines Netzteils ist lediglich die Leistung, die das Netzteil maximal liefern kann. Zieht der Rechner mehr Strom, geht es in die Knie. Mit der Verlustleistung des Netzteils (also quasi dessen ‚eigenem Stromverbrauch‘) hat die nur sehr indirekt zu tun.
Davon mal abgesehen reicht es natürlich, wenn du ein baugleiches Barebone-Netzteil mit 200 Watt - 250 Watt nachkaufst. Ein 380 Watt - Netzteil für Barebones wirst du auch gar nicht kriegen. 
Die wichtigste Frage (oder besser: die einzige auf die es
ankam^^) hast du leider nicht beantwortet oder überlesen:
Kann mir denn jemand sagen ob es sich dabei um ein Nachfolgemodell handelt, dass mit meinem bisherigen PC kompatibel ist?
Nein. Prinzipiell musst du aber auch kein Netzteil desselben Herstellers nachkaufen. Netzteile sind grundsätzlich genormt bezüglich Einbaugröße, Abstand der Schrauben und Anschlüssen. Wichtig ist daher, dass du ein Netzteil desselben Formfaktors nachkaufst. Leider halten sich nicht alle Barebone-Hersteller an die Standards, wenn dies nicht der Fall ist, musst du dich an den Barebone-Hersteller wenden.
Du hast aber eine gute Chance, dass dein NT ein Standardnetzteil ist, da es nicht vom Barebonehersteller kommt, sondern Zukaufware eines taiwanesischen Massenproduzenten ist. Wenn ich mal mit der Herstellerseite vergleiche (Modell ENP-2222A/ ENP-2220D/ ENP-2220F), müsste dein Netzteil ein TFX-Netzteil sein, auch wenn die von dir angegebene Höhe nicht ganz hinhaut:
http://www.enhance.com.tw/
Dort mal gucken unter: Our Products -> TFX 12V (-> Next 10)
Falls die dir bekannt vorkommen, messe nochmal genau nach (hast du in der Mitte gemessen, falls der Lüfter erhöht ist?), check die Steckerposition und schaue, ob eines der Netzteile mit deinem Exemplar übereinstimmt. Die genormte Einbauhöhe müsste nämlich 65 mm (mit aufgeschraubtem Lüftergitter) sein. Wenn dein Barebone-Gehäuse nicht so viel Platz hat und/ oder der Netzstecker nicht auf der Rückseite ist, ist das Netzteil eine Extrawurst und du musst genau dasselbe Exemplar nachkaufen. Andernfalls geht IMHO jedes Netzteil mit diesem putzigen TFX-Abmessungen. Dann würde ich persönlich lieber eins von einem Markenproduzenten nachkaufen, z.B. von Fortron.
Im Internethandel finde ich z.b.:
Enhance Electronics 200Watt Netzteil
Model ENP-2320
1HE
P4 Stecker
Breite Länge Höhe 81x150x42mm
Das wäre ein normales Flex-ATX-Netzteil (Booksize) mit Lüfter auf der Rückseite und wird möglicherweise nicht passen. Elektrisch isses identisch (Stromanschlüsse), aber nicht von den Abmaßen.
Wurde in den letzten 4 Jahren ein neuer Standard für die
Stecker vom Netzteil zum Mainboard eingeführt?
Nein, zumindest nichts, was nicht abwärtskompatibel wäre.
Ich kann auch gerne ein Foto vom alten Stecker machen wenn die
Frage aus dem bisherigen Zusammenhang nicht beantwortet werden
kann.
Schätze mal: ATX 16pin (ziemlich bunt) + ATX 4pin (zwei gelbe und zwei schwarze Kabel)? 
LG Jesse