Ich werte gerade ein Experiment aus. Vielleicht könnt ihr mir helfen? Es geht darum zu entscheiden, ob sich der Ausgang eines Experiments signifikant vom Ausgang eines Zufallsexperiments unterscheidet (auf einem gewissen Signifikanz-Niveau).
Ich habe 216 Fälle betrachtet.
In der Theorie gilt für 2/3 der Fälle X: E(X)=5/3
In der Theorie gilt für 1/3 der Fälle X: E(X)=2/3
Damit ergibt sich:
E(Summe aller X)=288
In meinem Experiment kam als Summe 282 heraus.
Das sieht mir nicht signifikant verschieden aus. Aber wie beweisen?!
Hallo Jan!
Damit Du entscheiden kannst, ob die Abweichung signifikant ist, musst Du die theoretische Verteilung der Prüfgröße (Summe aller X) kennen. Diese läßt sich aus den Verteilungen beider Fälle ermitteln. Hierzu reicht es allerdings nicht aus die Erwartungswerte dieser Verteilungen zu kennen.
Was genau sagt die Theorie über die Verteilung von X in den beiden Fällen aus?
Viele Grüße Falk
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Hallo Falk,
hmm. Es ist eine diskrete Verteilung.
Bei den Fällen, bei denen E(X)=5/3 verhält es sich so:
Die Größe nimmt mit p=1/3 den Wert 0 an.
Die Größe nimmt mit p=1/3 den Wert 1 an.
Die Größe nimmt mit p=1/3 den Wert 4 an.
Bei den Fällen, bei denen E(X)=2/3:
Die Größe nimmt mit p=1/3 den Wert 0 an.
Die Größe nimmt mit p=2/3 den Wert 1 an.
Hilft dir das schon?
Danke für die Antwort!
Gruß
Jan
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Chi²-Test
Hallo Jan,
Mit diesen Angaben wird die Aufgabe exakt lösbar.
Die Zufallsvariable ist in beiden Fällen multinomial verteilt. Die Binomialverteilung im zweiten Fall ist lediglich ein Sonderfall der Multimodialverteilung.
Ich denke, dass man beide Fälle zu einer multinomial verteilten Zufallsvariablen Zusammfassen kann.
Die Verteilung
p(X=0)=1/3 wenn Fall 1 und 1/3 wenn Fall 2
p(X=1)=1/3 wenn Fall 1 und 2/3 wenn Fall 2
p(X=4)=1/3 wenn Fall 1 und 0 wenn Fall 2
kann man vereinfachen indem man die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle jeweils zu einer zusammenfasst:
p(X=0)=1/3
p(X=1)=p(Fall=1)* 1/3 + p(Fall=2)*2/3)
p(X=1)=p(Fall=1)* 1/3
Aus diesen Wahrscheinlichkeiten und der Fallzahl n kannst Du die theoretische Verteilung der Messwerte aufstellen.
Die Tabelle hierfür sieht wie folgt aus:
Wert | 0 | 1 | 4
--------------------------------------------------------
Erwartete Häufigkeit | n\*p(X=0) |n\*p(X=1)| n\*p(X=4)
Beobachtete Häufigkeit | 90 | 80 | 90
Mit diesen Werte kannst Du nun einen Chi²-Test berechnen. Die Prüfgröße Chi² errechnet sich als die Summe der Terme (Beobachter_Wert-Erwarteter_Wert)²/(Erwarteter_Wert).
Sie ist chi²-verteilt. Die Entscheidung, ob die Abweichung auf Deinem Signifikanzniveau bedeutsam ist, kannst Du somit der Chi²-Tabelle entnehmen (http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html)
Viel Erfolg!
Falk
Wert | 0 | 1 | 4
Erwartete Häufigkeit | n*p(X=0) |n*p(X=1)| n*p(X=4)
Beobachtete Häufigkeit | 90 | 80 | 90
Mit diesen Werte kannst Du nun einen Chi²-Test berechnen. Die
Prüfgröße Chi² errechnet sich als die Summe der Terme
(Beobachter_Wert-Erwarteter_Wert)²/(Erwarteter_Wert).
Sie ist chi²-verteilt. Die Entscheidung, ob die Abweichung auf
Deinem Signifikanzniveau bedeutsam ist, kannst Du somit der
Chi²-Tabelle entnehmen
(http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html)
Hallo Frank!
Genial - du kennst dich echt gut aus. Studierst du Mathematik? Oder bist schon fertig?
Ich habe das mal durchgeführt und habe eine letzte Frage.
Wert | 0 | 1 | 4
Erwartete Häufigkeit | 216*1/3 | 216*4/9 | 216*2/9
Erwartete Häufigkeit e | 72 | 96 | 48
Beobachtete Häufigkeit i | 69 | 102 | 45
Prüfgröße | 0,6875
Wenn ich es richtig verstehe: Je größer der Unterschied zwischen den Häufigkeitsverteilungen, desto größer die Prüfgröße.
H0: die beobachtete Verteilung entstammt der theoretischen Verteilung
H0 wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße > kritischer Tabellenwert
3 Klassen, also 2 degrees of freedom
Kritischer Tabellenwert für 0,95: 0.10259 H0 ablehnen. Verteilungen verschieden.
Kritischer Tabellenwert für 0,05: 5.99146 H0 nicht ablehnen. Verteilungen nicht signifikant verschieden.
Wenn ich eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% nehmen will, dann muss ich doch den unteren Wert nehmen, oder?
In der Tabelle http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html scheinen mir einseitige Werte tabelliert zu sein. Muss ich nicht eher zweiseitige Werte nehmen?
Ich habe zwei Fragestellungen:
a) sind die Verteilungen verschieden
b) ist die beobachtete Verteilung in Richtung 4 verschoben.
Noch mal danke!!!
Viele Grüße
Jan
Hallo Jan!
Genial - du kennst dich echt gut aus. Studierst du Mathematik?
Oder bist schon fertig?
Ich darf leider nocht nicht studieren, sondern muss ersteinmal Abitur machen. Ich fühle mich aber als verhinderter Student und habe großes Interesse an Statistik.
Ich habe das mal durchgeführt und habe eine letzte Frage.
Wert | 0 | 1 | 4
Erwartete Häufigkeit | 216*1/3 | 216*4/9 | 216*2/9
Erwartete Häufigkeit e | 72 | 96 | 48
Beobachtete Häufigkeit i | 69 | 102 | 45
Prüfgröße | 0,6875
Wenn ich es richtig verstehe: Je größer der Unterschied
zwischen den Häufigkeitsverteilungen, desto größer die
Prüfgröße.
Richtig, so ist es.
H0: die beobachtete Verteilung entstammt der theoretischen
Verteilung
H0 wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße > kritischer
Tabellenwert
3 Klassen, also 2 degrees of freedom
Stimmt.
Kritischer Tabellenwert für 0,95: 0.10259 H0 ablehnen.
Verteilungen verschieden.
Kritischer Tabellenwert für 0,05: 5.99146 H0 nicht ablehnen.
Verteilungen nicht signifikant verschieden.
Wenn ich eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% nehmen will,
dann muss ich doch den unteren Wert nehmen, oder?
Auch das ist richtig.
In der Tabelle http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html
scheinen mir einseitige Werte tabelliert zu sein. Muss ich
nicht eher zweiseitige Werte nehmen?
Der Test ist immer einseitig, weil die Alternativhypothese lautet: Die Prüfgröße ist signifikant größer als 0. Nur in diesem Fall kann die Abweichung von der erwarteten Verteilung signifikant sein. Kleiner als 0 kann die Prüfgröße nicht werden.
Ich habe zwei Fragestellungen:
a) sind die Verteilungen verschieden
b) ist die beobachtete Verteilung in Richtung 4 verschoben.
Die Verteilungen sind auf dem Signifikanzniveau alpha=.05 nicht signifikant verschieden. Deshalb kann es auch keine signifikante Verschiebung zu 4 geben. Im Experiment war der Wert 4 seltener als erwartet. Zusätzlich würde ich noch den Mittelwert mit dem Erwartungswert der theoretischen Verteilung vergleichen.
Viele Grüße Falk