Guten Tag
Habe da wiedemal ein Problem mit ner autonomen DGL:
y’ = (1+y^2)^(1/2)
Versucht habe ich:
dy/dt = (1+y^2)^(1/2)
dy/(1+y^2)^(1/2)= 1*dt
Beide Seiten integrieren erhält man:
ln((1+y^2)^(1/2)+y)+c1 = x +c2
–> umformen und so weiter hat bei mir nicht zum gewünschten Resultat
y(x) = sinh(x-C1)
geführt…
Irgendwelche Typs und Tricks???
Danke im Voraus
Severin
Hallo,
y’ = (1+y^2)^(1/2)
dy/dt = √(1 + y2)
⇔ 1/√(1 + y2) dy = 1 dt
Damit sind die Variablen schon getrennt.
Die Stammfunktion zu 1/√(1 + y2) kann man leicht mittels der Substitution y(ξ) = sinh(ξ) finden. Mit dieser Wahl bekommt man vermöge 1 + sinh² = cosh² die unangenehme Wurzel weg. Da sinh’ = cosh ist, wird der Integrand hier sogar zu 1.
⇔ 1/√(1 + sinh2(ξ)) cosh(ξ) dξ = 1 dt
⇔ 1/√(cosh2(ξ)) cosh(ξ) dξ = 1 dt
⇔ 1 dξ = 1 dt
⇔ ξ = t + C
⇔ arsinh(y) = t + C
arsinh(x) ist also eine Stammfunktion von 1/√(1 + x2) [
].
⇔ y(t) = sinh(t + C)
Fertig.
Gruß
Martin
[] Die Umkehrfunktion arsinh („Areasinus“) des Sinus hyperbolicus läßt sich auch durch die gängigere ln-Funktion ausdrücken; es gilt
arsinh(x) = ln(x + √(x2 + 1)).
Beweis: sinh(a) = 1/2 (ea – e–a)
⇒ ln(sinh(a) + √(sinh2(a) + 1))
= ln(1/2 (ea – e–a) + √((1/2 (ea – e–a))2 + 1))
= … (selbst rechnen und über das Ergebnis staunen)
= a