Bahndrehimpulse, Spins

[TruEnemy_264ca5]

Hallo,

vorab: das soll KEINE AUFGABENERLEDIGUNG werden. Ich will Hilfe, damit ich das Thema verstehe.

Das zu behandelnde Thema lautet Bahndrehimpulse: Singlet und Triplet Zustände. Wir haben zwei
Drehimpulse, j_1 und j_2, und koppeln diese zu einem Gesamtdrehimpuls J mit J = j_1 + j_2.
Dabei erscheinen die Quantenzahlen J, M_J, j_1, m_1 und j_2, m_2. Im Produktzustand
|j_1 m_1 ; j_2 m_2> kennen wir j_1, m_1, j_2, m_2 und M_J = m_1 + m_2, wissen i.A. aber
nichts über den Gesamtdrehimpuls J. Andererseits können wir den gemeinsamen Eigenzustand
|j_1 j_2 ; J M_J> definieren (abgekürtzt: |J M_J&gt:wink:. Für diesen Zustand können wir die
Quantenzahlen J, M_J, j_1, j_2 angeben, wissen aber i.A. nichts über m_1, m_2. Dieser Umstand
drückt sich in den folgenden Kommutatorbeziehungen aus, wobei i = 1, 2:
http://s1.directupload.net/images/110710/s9d5ax39.jpg

Im Folgenden betrachten wir die Kopplung der Spins zweier Elektronen zu einem Gesamtspin
S mit S = s_1 + s_2. Unser Zeil ist es zu verstehen, welche Zustände des Gesamtdrehimpulses,
|S M_S>, wir bilden können. Wir verwenden die Notation a_i und b_i, wobei i = 1, 2, um die
Produktzustände mit den Eigenwerten s_i,z |s_i, m_i,s> = ± (1/2)*hquer |s_i, m_i,s>
abgekürtzt zu schreiben, nämlich s_i,z |a_i> = + (1/2)*hquer |a_i> und
s_i,z |b_i> = - (1/2)*hquer |b_i>. Die orthonomale Basis von Produktzuständen für zwei
Spin- (1/2)- Teilchen ist damit {|a_1 a_2>, |a_1 b_2>, |b_1 a_2>, |b_1 b_2>}.

Frage 1:

Berechnen Sie die Matrix des Operators S_z = s_1,z + s_2,z in der Basis der
Produktzustände. Die Matrix bildet sich aus den Elementen
.

Frage 2:

Berechnen Sie die Matrix des Operators S² in der Basis der Produktzustände. Dazu müssen
wir die folgende Beziehung verwenden: http://s7.directupload.net/images/110710/oh7g3pbl.jpg

Frage 3:

Welche Produktzustände sind Eigenvektoren von S², welche sind nicht?

Frage 4:

Was können wir über die Bedeutung der Quantenzahlen S und M_S für die
vier Produktzustände sagen?

Frage 5:

Diagonalisieren Sie die S² - Matrix um die Eigenvektoren von |S M_S> zu
finden.

Frage 6:

Welche Quantenzahlen können wir für die Zustände |S M_S> angeben.

Nochmal: das soll KEINE AUFGABENERLEDIGUNG werden. Ich will Hilfe, damit ich das Thema verstehe.
Falls der Text zu unübersichtlich und die Formeln zu „unleserlich“ geschrieben sieht, bitte sagen.

Gruß.

[TruEnemy_264ca5]

Bitte wirklich um Hilfe! Im Grunde handelt es sich hierbei um eine Spin- Spin- Koppelung,
aber leider finde ich in der mir zur Verfügung stehenden Literatur nichts dazu. Wie
stelle ich denn die in den Fragen verlangten Matrizen überhaupt auf? Bitte, helft mir.

[Martin]

(offtopic) Spezialwissen
Hallo TruEnemy,

Bitte wirklich um Hilfe!

-) Das ist bestens verständlich, aber Du musst auch berücksichtigen, dass Deine Frage schon auf einem enorm hohen fachlichen Niveau angesiedelt ist. Ein kompetente Antwort darauf setzt tiefgehende Kenntisse der Quantentheorie voraus, und der Anteil der Personen, die über derart spezielles Wissen verfügen, ist einfach sehr gering. Je höher man steigt desto dünner wird die Luft und irgendwann ist man ziemlich auf sich alleine gestellt. Daher: Wenns wirklich drängt und wichtig ist, solltest Du Dich vielleicht besser (auch) an Deinen Tutor/Übungsgruppenbetreuer o. ä. an Deiner Hochschule wenden. Vermutlich hättest Du da eine noch größere Chance auf schnelle, echte Hilfe als in wer-weiss-was.

Ich hoffe natürlich, dass Du auch hier bald die ersehnten guten Tipps bekommst, aber setze Deine Erwartungen besser nicht zu hoch an.

Mit freundlichem Gruß
Martin
Moderator im Brett Physik

[TruEnemy_264ca5]

Hallo TruEnemy,

Bitte wirklich um Hilfe!

-) Das ist bestens verständlich, aber Du musst auch

berücksichtigen, dass Deine Frage schon auf einem enorm hohen
fachlichen Niveau angesiedelt ist. Ein kompetente Antwort
darauf setzt tiefgehende Kenntisse der Quantentheorie voraus,
und der Anteil der Personen, die über derart spezielles Wissen
verfügen, ist einfach sehr gering. Je höher man steigt desto
dünner wird die Luft und irgendwann ist man ziemlich auf sich
alleine gestellt. Daher: Wenns wirklich drängt und wichtig
ist, solltest Du Dich vielleicht besser (auch) an Deinen
Tutor/Übungsgruppenbetreuer o. ä. an Deiner Hochschule wenden.
Vermutlich hättest Du da eine noch größere Chance auf
schnelle, echte Hilfe als in wer-weiss-was.

Ich hoffe natürlich, dass Du auch hier bald die ersehnten
guten Tipps bekommst, aber setze Deine Erwartungen besser
nicht zu hoch an.

Mit freundlichem Gruß
Martin
Moderator im Brett Physik

Ja, das ist sicher richtig. Aber eigentlich habe ich - zuletzt
erst in der vergangenen Woche - sehr gute Erfahrungen mit „höheren“
Themen in diesem Board gemacht. Ich hoffe weiter auf Antworten

[TruEnemy_264ca5]

Es muss was mit diesen Pauli- Matrizen zu tun haben. Ich komme dem
Thema näher, ich verstehe aber immer noch nicht, wie ich ansetzen kann.

Bei Wiki finde ich zu der Kopplung von Spin- 1/2- Teilchen das hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpulsoperator#Spin…

Ich will nun also die z- Komponente des Gesamtspins S, also S_z, berechnen:
S_z = s_1,z + s_2,z
Für das Quadrat des Gesamtspins S, also S², habe ich gegeben:
S² = s²_1 + s²_2 + 2*s_1,z*s_2,z + (s_1,+*s_2,-) + (s_1,-*s_2,+)

Das ist eine Addition/Multiplikation von Matrizen, nur, wie sehen die denn aus?
In der Aufgabenstellung ist eine Formel gegeben zu:
s_i,z |s_i, m_i,s> = ± (1/2)*hquer |s_i, m_i,s>

Mit i = 1 lautet sie:
s_1,z |s_1, m_1,s> = ± (1/2)*hquer |s_1, m_1,s>

Mit i = 2 lautet sie:
s_2,z |s_2, m_2,s> = ± (1/2)*hquer |s_2, m_2,s>

Und was kann ich mir nun darunter vorstellen? Bitte, nur ein Tipp!

[PHvL]

Hallo,

Das ist eine Addition/Multiplikation von Matrizen, nur, wie
sehen die denn aus?

eine Matrix ist eine Kurzschreibweise für eine lineare Abbildung. Dadurch, dass man die Bilder der einzelnen Basisvektoren in einem Spaltenschema nebeneinander schreibt, ergibt sich, dass man die Anwendung der linearen Abbildung durch die bekannte Regel „Zeile mal Spalte“ der Matrizenmultiplikation ausführen kann.

Hat man also eine Basis des Vektorraums gegeben, so muss man diese zunächst durchnumerieren. Dann ermittelt man das Bild des ersten Basisvektors und schreibt die Komponenten in die erste Spalte der Matrix. Dann der zweite und so weiter, bis man die Matrixdarstellung der linearen Abbildung in dieser Basis dastehen hat.

In der Aufgabenstellung ist eine Formel gegeben zu:
s_i,z |s_i, m_i,s> = ± (1/2)*hquer |s_i, m_i,s>

Ich würde empfehlen, zunächst nur einen einzigen Spin zu betrachten.

Wieviele mögliche, unabhängige Zustände kann ein Spin einnehmen?

Welche Zustände bieten sich als Basis an, um einen Spin zu beschreiben?

Wie wirken die Operatoren s² und s_z jeweils darauf?

–
Schöne Grüße
PHvL

[TruEnemy_264ca5]

Vorab vielen herzlichen Dank für Deine Antwort.

eine Matrix ist eine Kurzschreibweise für eine lineare
Abbildung. Dadurch, dass man die Bilder der einzelnen
Basisvektoren in einem Spaltenschema nebeneinander schreibt,
ergibt sich, dass man die Anwendung der linearen Abbildung
durch die bekannte Regel „Zeile mal Spalte“ der
Matrizenmultiplikation ausführen kann.

Hat man also eine Basis des Vektorraums gegeben, so muss man
diese zunächst durchnumerieren. Dann ermittelt man das Bild
des ersten Basisvektors und schreibt die Komponenten in die
erste Spalte der Matrix. Dann der zweite und so weiter, bis
man die Matrixdarstellung der linearen Abbildung in dieser
Basis dastehen hat.

Ich weiß, was eine Matrix ist, aber vielen Dank

Ich würde empfehlen, zunächst nur einen einzigen Spin zu
betrachten.

Wieviele mögliche, unabhängige Zustände kann ein Spin
einnehmen?

Welche Zustände bieten sich als Basis an, um einen Spin zu
beschreiben?

Wie wirken die Operatoren s² und s_z jeweils darauf?

Da hakt’s bei mir schon. Ich bin dabei mich durch diverse
Seiten zu lesen, komme aber bisher nicht weiter. Leider

Sind die möglichen Zustände bei nicht +(1/2), -(1/2)?
Kann ich diese dann nicht durch die Pauli- Matrizen beschreiben?

[PHvL]

Hallo,

Wieviele mögliche, unabhängige Zustände kann ein Spin
einnehmen?

Sind die möglichen Zustände bei nicht +(1/2), -(1/2)?

bei der Messung einer Komponente des Spins, also z. B. s_z erhalten wir immer nur einen von zwei Werten \tfrac{\hbar}{2} oder -\tfrac{\hbar}{2} – das sind also die Eigenwerte des zugehörigen Operators \hat{s}_z. Unter der Annahme, dass dabei nichts entartet ist (dass also zu jedem Eigenwert genau ein Eigenvektor gehört), ist der Vektorraum der Zustände also zweidimensional.

Welche Basis könnte man verwenden, um diesen zweidimensionalen Vektorraum zu beschreiben?

–
Schöne Grüße
PHvL

[TruEnemy_264ca5]

Es ist zwar schon eine Weile her, aber der Vektorraum, in dem wir in
dieser Aufgabe hätten arbeiten sollen, ist vierdimensional, da die Basis
mit {|a_1 a_2>, |a_1 b_2>, |b_1 a_2>, |b_1 b_2>} gegeben war, und somit
sind die Operatoren in Matrixschreibweise jeweils 4 x 4 - Matrizen.