Guten Tag,
ich bin im Zuge eines Informatik Projektes an meiner Schule auf der Suche nach der Bahngleichung (2 Dimensional:x(t),y(t)) eines elektrons im Teilchenbeschleuniger (etwa ein vereinfachtes Synchrotron) mit homogenem Magenetfeld. Würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand jene Gleichungen mitteilen könnte.
Hallo,
das ist gar nicht so einfach.
du hast die Gleichung F = q * [E(x,y) + (v x B(x,y))] für die Kraft auf das Elektron am Ort (x,y).
q ist die Elektronenladung, v die Geschwindigkeit des Elektrons, E die elektrische Feldstärke und B die Magnetische Flussdichte.
x bedeutet Kreuzprodukt.
Die Bewegungsgleichungen sind
F = m * a
v = a * t
s = a/2 * t².
Insgesamt erhält man dann die Gleichungen
q +- -+
x(t) = --- \* | E<sub>x</sub>(x,y) + v<sub>x</sub> \* B<sub>y</sub>(x,y)| t²
2m +- -+
q +- -+
y(t) = --- \* | E<sub>y</sub>(x,y) - v<sub>y</sub> \* B<sub>x</sub>(x,y)| t²
2m +- -+
Du kannst die Gleichungen nur stückweise lösen, da du v (die Geschwindigkeit des Elektrons) nicht kennst und diese auch wieder von den Werten für E und B am aktuellen Ort abhängt (den du ja erst ausrechnen musst).
Dafür gibt es verschiedene mathematische Methoden.
Am einfachsten (aber ungenauesten) gibst du eine Geschwindigkeit v0für t=0 am Ort (x0, y0) vor, berechnest dann für eine Zeitdifferenz dt (z.B. 1ns) ein neues x1 und y1 und bestimmst die neue Geschwindigkeit nach
x<sub>1</sub> - x<sub>0</sub>
v<sub>1x</sub> = ----
dt
y<sub>1</sub> - y<sub>0</sub>
v<sub>1y</sub> = ----
dt
Dann mußt du noch die neuen Werte für E und B an der Stelle (x1, y1) bestimmen und kannst damit x2 und y2 berechnen.
Wie gesagt, es gibt keine geschlossene Formel, um x(t) und y(t) zu berechnen.
Gruß
Torsten
Hallo zusammen,
das ist gar nicht so einfach.
außer in einigen Spezialfällen
du hast die Gleichung F = q * [E(x,y) + (v x B(x,y))]
Wie bereits in der Überschrift genannt, ist da nur ein homogenes Magnetfeld. Also ist E(x,y)=0 und B ist von x und von y unabhängig.
Von obiger Formel bleibt also das da übrig:
F = q * [v x B_o]
Wegen des Kreuzproduktes wirkt die Kraft also senkrecht zur Bewegungsrichtung des Elektrons (und senkrecht zur Magnetfeldrichtung. Eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung zwingt das Elektron auf eine Kreisbahn.
Wie gesagt, es gibt keine geschlossene Formel, um x(t) und
y(t) zu berechnen.
Wie gesagt, in einigen Spezialfällen ist die Formal sogar einigermaßen einfach.
Viele Grüße
Stefan
Hi Stefan,
Wie bereits in der Überschrift genannt, ist da nur ein
homogenes Magnetfeld. Also ist E(x,y)=0 und B ist von x und
von y unabhängig.
das hast du recht, das hatte ich überlesen.
Dann hat sich auch noch ein Fehler im Kreuzprodukt eingeschlichen. Hier also nochmal die (hoffentlich jetzt richtige) Formeln:
q<sub>el</sub>
x(t) = - ---- \* v<sub>y</sub> B<sub>z</sub> t²
2m<sub>el</sub>
q<sub>el</sub>
y(t) = ---- \* v<sub>x</sub> B<sub>z</sub> t²
2m<sub>el</sub>
Wie gesagt, in einigen Spezialfällen ist die Formal sogar
einigermaßen einfach.
Viele Grüße
Torsten
Hallo Torsten,
nachdem ich Dich eben darauf hingewiesen habe, dass die Lösung einfacher zu haben ist, komme ich nun mit einen Umgekehrten Hinweis.
Dann hat sich auch noch ein Fehler im Kreuzprodukt
eingeschlichen.
Ich kenne die Details Deiner Zwischenergebnisse nicht, aber das Kreuzprodukt scheint zu stimmen, aber Deine Schritt von der Differenzialgleichung zur Bewegungsgleichung scheinen ein vereinfachtes Verfahren zu benutzen, dass aber leider falsch ist.
Hier noch mal ein paar Annahmen:
Das Elektron bewegt sich in der x-y-Ebene. Das homogene Magnetfeld hat nur eine z-Komponente B = B_z. (Wäre die Situation anders, so erhielte man keine Kreisbahn, sondern eine Schraubenlinie.)
Für die Differentialgleichungen habe ich dann:
x_dot_dot(t) = q/m * y_dot(t) * B
y_dot_dot(t) = - q/m * x_dot(t) * B
Wie kommst Du dann auf das hier:
Hier also nochmal die (hoffentlich jetzt
richtige) Formeln:qel
x(t) = - ---- * vy
Bz t²
2melqel
y(t) = ---- * vx
Bz t²
2mel
Viele Grüße
Stefan
Ergänzung
Hier noch mal ein paar Annahmen:
Das Elektron bewegt sich in der x-y-Ebene. Das homogene
Magnetfeld hat nur eine z-Komponente B = B_z. (Wäre die
Situation anders, so erhielte man keine Kreisbahn, sondern
eine Schraubenlinie.)Für die Differentialgleichungen habe ich dann:
x_dot_dot(t) = q/m * y_dot(t) * B
y_dot_dot(t) = - q/m * x_dot(t) * B
q ist die Ladung des Teilchens, m seine Masse.
Noch ein paar weitere Annahmen für die Anfangsbedingungen:
Zum Zeitpunkt t = 0s bewegt sich das Elektron exakt in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v_0. Das Elektron startet an der Position
y_0 = 0
x_0 = (v_0 * m) / (q * B)
Dann komme ich auf die Bewegungsgleichung:
x = m/q * v_0/B * sin(q * B * t / m)
y = m/q * v_0/B * cos(q * B * t / m)
Das habe ich aber mit stumpfem Bleistift auf der Rückseite eines gebrauchten Briefumschlages gerechnet. Rechnet das also bitte nochmal nach.
Viele Grüße
Stefan