Baisis eines Vektorunterraumes

Wissenschaft Physik
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Hy an Alle!!

Hätte mal eine kurze Frage an euch.

Ich habe drei Vektoren x1, x2 und x3 mit der Bedingung 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0

Haba darauf folgende Vektoren gewählt:

x1 = ( 1 / 2 / 3 )
x2 = ( 3 / 2 / 1 )
x3 = ( -8 / -8 / -8 )

Habe dann herausgefunden, dass x3 eine Linearkombination von x1 und x2 sind, also habe ich hier einen Unterraum des R^3, der eine Ebene ist. Das ist doch bis jetzt richitg oder?

So nun soll ich eine Basis zu diesen Unterraum finden. Ok, der Unterraum ist eine Ebene, deshalb besteht er aus zwei Vektoren, oder nicht?

Kann es sein, dass die Basis aus den Vektoren x1 und x2 besteht oder liege ich da komplett falsch? x3 scheidet ja als linear abhängiger Vektor aus ,um eine Basis zu bilden.

Wenn ich falsch liege, wie würde dann die Basis dieses Unterraumes heißen?

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

mfg Mario

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hi,

Ich habe drei Vektoren x1, x2 und x3 mit der Bedingung 2*x1 +
2*x2 + x3 = 0

Haba darauf folgende Vektoren gewählt:

x1 = ( 1 / 2 / 3 )
x2 = ( 3 / 2 / 1 )
x3 = ( -8 / -8 / -8 )

wählen kann man alles: grüne, spö, övp, … diese vektoren. diese vektoren erfüllen aber jedenfalls nicht die bedingung von oben… (auch fpö, bzö, övp, spö, grüne erfüllen nicht alle bedingungen.)

Habe dann herausgefunden, dass x3 eine Linearkombination von
x1 und x2 sind, also habe ich hier einen Unterraum des R^3,
der eine Ebene ist. Das ist doch bis jetzt richitg oder?

die vektoren, die die o.a. bedingung erfüllen, bilden einen vektorraum; das ist richtig. richtig ist auch, dass x3 als linearkombi von x1 und x2 dargestellt werden kann.

So nun soll ich eine Basis zu diesen Unterraum finden. Ok, der
Unterraum ist eine Ebene, deshalb besteht er aus zwei
Vektoren, oder nicht?

jein. seine basis besteht aus 2 vektoren. er selbst enthält unendlich viele elemente.

Kann es sein, dass die Basis aus den Vektoren x1 und x2
besteht oder liege ich da komplett falsch? x3 scheidet ja als
linear abhängiger Vektor aus ,um eine Basis zu bilden.

nein. alle 3 vektoren oben erfüllen die grundbedingung nicht.
und: auch ein (von 2 anderen vektoren) linear abhängiger vektor x3 kann element einer basis sein.
deine vektoren erfüllen ja z.b. die gleichung
x3 = -2 * x1 - 2 * x2
also wäre z.b. x1 = 1/2 * (-x3 - 2x2) = -1/2 * x3 - x2, damit könntest du als basis für den von x1 und x2 aufgespannten vektorraum auch x2 und x3 wählen. es ist nur so, dass der von x1 und x2 (oder x1 und x3 oder x2 und x3) aufgespannte vektorraum ein anderer ist als der gegebene.

Wenn ich falsch liege, wie würde dann die Basis dieses
Unterraumes heißen?

such dir 2 linear unabhängige vektoren, die die grundbedingung erfüllen.
z.b.: x1 = (0, 1, -2), x2 = (1, 0, -2)

hth
m.

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Hy Danke für deine ( ihre ) Antwort.

so habe jetzt meines Mathematisches Hirn nochmal auf Volldampf laufen lassen und habe zwei , Erkenntnisse , daraus gezogen, jedenfalls hoffe ich das die ein wenig stimmen *g*.

Also die Vektoren

x1 = ( 1 / 2 / 3 )
x2 = ( 3 / 2 / 1 )
x3 = ( -8 / -8 / -8 )

erfüllen die Bedingung 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0 nur für R^3. Durch dieses Beispiel kann ich nur zeigen, dass es sich hier um einen 2 Dimensionalen Unter( Vektor - )raum handelt.

Wenn das aber falsch ist, warum ist das falsch, wenn ich nämlich folgendes rechne:

  1. 2*1 + 2*3 - 8 = 0
  2. 2*2 + 2*2 - 8 = 0
  3. 3*2 + 1*2 - 8 = 0

So da ich aber die Basis für einen 2 Dimensionalen Raum suche habe ich natürlich ein Problem, denn x1 und x2 erfüllen die Bedingung 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0 nicht. Deshalb muss ich nach einen anderen Basisvekotr für diesen Unterraum suchen.

Ihre Basisvektoren x1 = (0, 1, -2), x2 = (1, 0, -2)
erfüllen sicher 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0, weil ich denke, dass sie sich als MAthe Lehrer sicher damit auskennen, aber ich hab x1, x2 aber ich habe nicht x3. Wie kann dann die Grundbedingung erfüllt sein?

Könntet sie mir bitte schreiben, ob in dem was ich jetzt geschrieben habe wenigstens ein wenig Sinn steht, oder ob das kompletter Unsinn ist, was ich nicht hoffe.

mfg MArio

4

Hallo!

hi,

Ich habe drei Vektoren x1, x2 und x3 mit der Bedingung 2*x1 +
2*x2 + x3 = 0

Haba darauf folgende Vektoren gewählt:

x1 = ( 1 / 2 / 3 )
x2 = ( 3 / 2 / 1 )
x3 = ( -8 / -8 / -8 )

wählen kann man alles: grüne, spö, övp, … diese vektoren.
diese vektoren erfüllen aber jedenfalls nicht die bedingung
von oben… (auch fpö, bzö, övp, spö, grüne erfüllen nicht
alle bedingungen.)

Tun sie doch!

Habe dann herausgefunden, dass x3 eine Linearkombination von
x1 und x2 sind, also habe ich hier einen Unterraum des R^3,
der eine Ebene ist. Das ist doch bis jetzt richitg oder?

die vektoren, die die o.a. bedingung erfüllen, bilden einen
vektorraum; das ist richtig. richtig ist auch, dass x3 als
linearkombi von x1 und x2 dargestellt werden kann.

So nun soll ich eine Basis zu diesen Unterraum finden. Ok, der
Unterraum ist eine Ebene, deshalb besteht er aus zwei
Vektoren, oder nicht?

jein. seine basis besteht aus 2 vektoren. er selbst enthält
unendlich viele elemente.

Kleinlich, aber korrekt :smile:. Aber ein Mathematiker muss das anmerken!

Kann es sein, dass die Basis aus den Vektoren x1 und x2
besteht oder liege ich da komplett falsch? x3 scheidet ja als
linear abhängiger Vektor aus ,um eine Basis zu bilden.

nein. alle 3 vektoren oben erfüllen die grundbedingung nicht.
und: auch ein (von 2 anderen vektoren) linear abhängiger
vektor x3 kann element einer basis sein.
deine vektoren erfüllen ja z.b. die gleichung
x3 = -2 * x1 - 2 * x2

Was allerdings der Ursprungsgleichung entspricht!

also wäre z.b. x1 = 1/2 * (-x3 - 2x2) = -1/2 * x3 - x2, damit
könntest du als basis für den von x1 und x2 aufgespannten
vektorraum auch x2 und x3 wählen. es ist nur so, dass der von
x1 und x2 (oder x1 und x3 oder x2 und x3) aufgespannte
vektorraum ein anderer ist als der gegebene.

Wenn ich falsch liege, wie würde dann die Basis dieses
Unterraumes heißen?

such dir 2 linear unabhängige vektoren, die die grundbedingung
erfüllen.
z.b.: x1 = (0, 1, -2), x2 = (1, 0, -2)

Alternativ kannst Du natürlich auch
x1 = ( 1 / 2 / 3 )
und
x2 = ( 3 / 2 / 1 )
wählen. Man kann sich nur fragen, ob eine orthogonale und normierte Basis nicht vielleicht günstiger wäre, kommt aber drauf an, was man machen will! :smile:

Ansonsten erst mal nen schönen Abend noch!

Gruß, Robert

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Servus!

Also ich kann an Deinem Ursprünglichen Beitrag nicht viel falsches Finden!
Nur definiert Dir „2*x1 + 2*x2 + x3 = 0“ überhaupt eindeutig eine Ebene? Ich denke nein! Zwar ist klar, dass die Gleichung nur lösbar ist, wenn x3 eine linearkombination von x1 und x2 ist (nämlich -2*x1-2*x2), aber so ist das für jede denkbare Orientierung eines im R^3 denkbaren 2-dim Unterraums möglich.
Ergo: Ein Lösen der Gleichung ist für jeden beliebigen 2-dim Unterraum des R^3 möglich, solange sie den identischen Ursprung haben möglich. Nimmt man z.B. den Unterraum, der von x1=(1,0,0) und x2=(0,1,0) aufgespannt wird, so findet sich sofort x3=(-2,-2,0). Nimmt man den Unterraum, der durch x1=(1,0,0) und x2=(0,0,1) aufgespannt wird, so erhält man x3=(-2,0,-2) … inwiefern es jetzt sinnvoll ist, von
„2*x1 + 2*x2 + x3 = 0“
ausgehend einen Unterraum definieren zu wollen, sei nun mal dahin gestellt, da bin ich sicher nicht der richige Ansprechpartner!

Gruß, Robert

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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hi,

so habe jetzt meines Mathematisches Hirn nochmal auf Volldampf
laufen lassen und habe zwei , Erkenntnisse , daraus gezogen,
jedenfalls hoffe ich das die ein wenig stimmen *g*.

Also die Vektoren

x1 = ( 1 / 2 / 3 )
x2 = ( 3 / 2 / 1 )
x3 = ( -8 / -8 / -8 )

erfüllen die Bedingung 2*x1 + 2*x2 + x3 = 0 nur für R^3. Durch
dieses Beispiel kann ich nur zeigen, dass es sich hier um
einen 2 Dimensionalen Unter( Vektor - )raum handelt.

was in der fragestellung unklar ist: sind in der gleichung
2*x1 + 2*x2 + x3 = 0
mit x1, x2 und x3 vektoren oder koordinaten gemeint?

da das ganze eine ebene sein soll, gehe ich davon aus, dass das koordinaten sind. und dann erfüllen alle deine vektoren die gleichung nicht.

wenn mit x1, x2 und x3 vektoren gemeint sind, erfüllen deine vektoren die gleichung als vektorgleichung. dann ist das aber keine ebenengleichung mehr. du kannst dann zu beliebigen vektoren x1 und x2 immer einen x3 finden, der die gleichung erfüllt. zu (1, 2, 3) und (3, 2, 1) isses dann (-8, -8, -8). zu (0, 0, 0) und (1, 1, 1) isses dann (-2, -2, -2). usw. usf.

aber ich denke nicht, dass das so gemeint war.

hth
m.