Banach'scher Fixpunktsatz

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

um zu entscheiden, ob die Funktion g(x)=1-x^2 auf dem Intervall D=[0,1] einen Fixpunkt besitzt, muss ich ja nachprüfen, ob die Abbildung eine Kontraktion ist, also ob

d(g(x_1),g(x_2))\leq q\cdot d(x_1,x_2) \text{ mit } q \in (0,1)
gilt.

Das hab ich mal versucht:

\frac{d(g(x_1),g(x_2))}{d(x_1,x_2)} = \frac{1-x_1^2-(1-x_2^2)}{x_1-x_2}
=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1-x_2} =\frac{ -(x_1-x_2)\cdot(x_2+x_1) }{x_1-x_2}=-x_2-x_1

Das könnte jetzt zwischen -2 und 0 liegen. Ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter.

Es wäre nett, wenn ihr mir dabei helfen würdet.

Viele Grüße,
Lisa

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Hey Lisa,

solltest bei den Metriken nicht vergessen, dass sie immer größer gleich 0 sind:

||(1-x^2)-(1-y^2)|| \leq q \cdot ||x-y||

||y^2 - x^2|| \leq q \cdot ||x-y||

||y + x|| \leq q

Wenn wir wüssten, dass y und x positiv sind, könnten wir es noch so vereinfachen:

y + x \leq q

Allerdings komme ich an dem Punkt auch nicht weiter :wink: Da dieses q nicht unbedingt zwischen 0 und 1 liegen muss.
Aber vllt konnte ich so einen kleinen Anstoß liefern :wink:

Gruß René

3

Die Behauptung stimmt ja auch nicht! :wink:
Du brauchst nur ein Gegenbeispiel zu finden.

Gruß
Granini

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Hallo,

um zu entscheiden, ob die Funktion
g(x)=1-x^2 auf dem Intervall
D=[0,1] einen Fixpunkt besitzt, muss ich ja
nachprüfen, ob die Abbildung eine Kontraktion ist, also ob

d(g(x_1),g(x_2))\leq q\cdot d(x_1,x_2) \text{ mit } q \in
(0,1)
gilt.

Das hab ich mal versucht:

\frac{d(g(x_1),g(x_2))}{d(x_1,x_2)} =
\frac{1-x_1^2-(1-x_2^2)}{x_1-x_2}
=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1-x_2} =\frac{
-(x_1-x_2)\cdot(x_2+x_1) }{x_1-x_2}=-x_2-x_1

Das könnte jetzt zwischen -2 und 0 liegen. Ab diesem Punkt
komme ich nicht mehr weiter.

Hallo Lisa,

Wenn -x2-x1 maximal 0 ist, und q ist positiv, dann folgt doch -x2-x1

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Hallo,

die Funktion besitzt natürlich einen Fixpunkt! Man muss nur die Gleichung 1-x²-x=0 nach x auflösen und die Lösung ist dann der Fixpunkt.
Aber schön wär’s wenn ich hier schon fertig wäre. Denn ich muss ja die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach überprüfen.

Tschüss,
Lisa

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Hallo Hendrik,

Wenn -x2-x1 maximal 0 ist, und q ist
positiv, dann folgt doch -x2-x1

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Für x1=0,5 und x2=0,75 gilt z.B. die Behautung nicht.
Wenn das die Aufgabenstellung war, bist du fertig.

Nur weil die Voraussetzungen eines Satzes nicht erfüllt sind, müsen ja nicht auch gleich die Folgerungen nicht erfüllt sein, ne? :smile:

Schönen Gruß
Granini